Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
кольца Ы (авторы вводят подходящее понятие производной и доказывают, в
частности, аналог условий
Коши-Римана).
Степанов [3* ] предложил новый подход к выводу асимптотической формулы
для количества неприводимых многочленов фиксированной степени иад Fg,
часть коэффициентов которых задана. Метод демонстрируется на примере
многочленов четвертой степени с двумя фиксированными коэффициентами. В
статье Вар-шамова [1*] дается алгоритм построения неприводимого
многочлена данной степени над имеющий полиномиальную сложность.
Неприводимость некоторых трехчленов специального вида исследована в
работе Agou [2*]. Шпарлииский [4*] доказал, что
12*
180
Гл. 3. Многочлены над конечными полями
при фиксированном п и достаточно большом простом числе существует
примитивный по модулю р многочлен степени п высоты И (/) - О
(рп^л+!)+е).Эгот результат при п = 1 nepexq в известные оценки И. М.
Виноградова 18] для наименьшего пер образного корня по модулю р. Кроме
того, там показывается существуют примитивные многочлены, содержащие лишь
п!% + 0(1) ненулевых коэффициентов. В работе Саг (3*1 получе верхние и
нижние оценки для количества многочленов степени над Fg, имеющих делитель
степени п. Мнтькин (3* ] полу нижние оценки для количества различных
значений многочл над простым полем Fp, уточняющие результаты Морделла (
dell 1161). Бурке (Burke [1*])ввел понятие плотности множес многочленов
над конечным полем и получил для него аналогй ответствующих результатов,
касающихся плотности множ целых чисел. Свойства плотности множеств
многочленов лись также в работах Саг [1*], [2*], (4*1, [8*], 19*]. rep
(Effinger 11*]) исследовал аналог проблемы Гольдбаха многочленов степени
-<6.
По тематике третьей главы имеются также следующие ра Agou [1*], 13*],
Beard, Sue 11*1, Car [6*], 17*], Claaseii U Hellegouarch 11*], Hensley
II*], Kaitofen 12*], Kaminski (1 Kashiwagi, Moriuehi 11*], Kashiwagi,
Uchimura 11*], Smits 11 [2*], Варшамов 11*], Варшамов, Кожевников [1*],
Кюре [2*], Маренич [1*] и Мурзаев [1*]. - Перев. \
Упражнения
' С-?
3.1. Найти порядок многочлена (ж2 4- х-\- 1)6(дс3+ х + Е) над полем;.
3.2. Найтн порядок многочлена х7 - дс(r) - х* - ж2 + х над полем
3.3. Найти ord (/) для всех нормированных неприводимых многочл степени 3
нз Fa [х [.
3.4. Доказать, что многочлен х8-\- х7 + xs + х + I неприводим над ffV н
найтн его порядок,
3.5. Пусть / ? Fg [xl- многочлен степени т > I, удовлетвори условию / (0)
Ф 0, н пусть корни аь аш этого многочлена из его поля р ження над Fg
просты. Доказать, что ord (/) равен наименьшему натуралЬШ
числу е, такому, что а* = 1 для 1 ^ i ^ т.
З.в. Доказать, что ord (Qe) - е для всех чисел е, для которых опре;
круговой многочлен Qe ? Fg [*1.
3.7. Пусть многочлен f неприводим над полем Fg, причем f (0) Ф 0, и е -
натуральное число, взаимно простое с q. Доказать, что ord (f) = е той
только тогда, когда / делнт круговой многочлен Qe.
3.8. Пусть / ? Fg [х\ - тот же многочлен, что н в упр. 3.5, и пусть
? N. Нантн общую формулу, устанавливающую связь между ord (/fe) и ord
3.9. Пусть Fg - конечное поле характеристики р, и пусть } ? Fg многочлен
положительной степени, такой, что f (0) ф 0. Доказать,
ord (/ (хр)) - р ord (f (ж)).
ЗЛО. Пусть f - неприводимый многочлен из Fg Ixl, такой, что /(0) н пусть
ord (f)е н г (tm)~ простое число, ие делящее q. Доказать, что
Упражнения
m если г делит е> то каждый неприводимый делитель многочлена
/ (хг)
в Fo 1*1 имеет П0РЯД0К ег' .. , ( г\
iii) если г не делит е, то один из неприводимых делителей
многочлена f {х )
0 IF \х] имеет порядок е, а остальные - порядок ег.
В VII Используя упр. 3.10, доказать, что если f 6 F, [* 1 -
многочлен
положительной степени, / (0) + 0 и г - простое число, ие делящее
q, то
s /f ^ г ord (/ (¦?))-
01 J 12 Доказать что возвратный многочлен (см. определение 3.12) к
непрнво-
пиупчуМногочлену / над Fg, такому, что / (0) Ф 0, тоже неприводим над Гг
3 13 Ненулевой многочлен f ? Fg Iх\ называется самтазвратным, если ** f
Доказать, что если для неприводимых над Fg многочленов g п к
многочлен самовозвратеи, то либо (i) h* - ag, где а ? FJ, либо
(ii) g* ~ bg,
_- hfo гд? b 7zirz zfc i *
3 14. Доказать, что если / - самовозвратный неприводимый многочлен из
(Г М степени т > 1, то т должно быть четным числом.
3 15 Доказать, что если / - самовозвратный неприводимый многочлен на f
\х-\ степени >1 и порядка е, то каждый неприводимый многочлен нз if ^ [х]
гтепени d > 1, порядок которого делит е, самовозвратеи.
3.16. Показать, что многочлен х* + х& + х* + * + 1 примитивен над
ГГ
П°Лез. 17?'Показать, что многочлен х* + х" + xs + х + 1 примитивен над
JT4
3 18 Показать, что многочлен х5-х+1 примитивен иад полем Fa-ЗДэ" Пусть /
^ Ftf (х1 - нормированный многочлен степени 1. До*
казать, что / примитивен иад Fg тогда и только тогда, когда он является
неприводимым делителем иад Fg кругового многочлена Qd - Fg [xj, где d -
1*
3 29 Найти число примитивных многочленов степени т над полем it q.
