Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
для простых конечных полей был сформулц1 ровап Пелле в рабсяе Pellet [1 ]
и доказан им в статье Pellet [9|i Многочлены вида / (хр - х) над fр, где
степенью многочлена является степень числа рь были изучены Сер ре (Serret
[4 I, 15 Случай b 0 для произвольных конечных полей рассмотрел^ Диксон
(Dickson [7, part L ch. 3]) и Альберт (Albert [3, ch. 5Щ7 Изучались также
и более общие типы многочленов, такие, ка^
/ (хрг - ах). / (xplf - ахрг - Ьх) и другие; см. например, ра.боть§
Agon [9], [131, [143, П5], [161 [171, [18.1 [19], [20 3, Сс*
hen S. D. Н05, Long [2 3, (3.L 141, [5], Long, Vaughan и Ore [6L Теорема
3,83 обобщает результаты Диксона (Dicksoil [30 3) н Альберта (Albert [3,
ch. 5 3). См, Schwarz [121 о даль ней" ших результатах в этом
направлении, Вопрос о числе к
NJv'!
трехчленахг - ах - Ь A где г - степень характеристик
поля 1|щ, изучался в статьях Liang Н L Segre [10] и Vilanova [1Щ Теорема
3.84 получена Диксоном (Dickson [7, part L eh. ЗЩ
Човла (С how la S. 117 3) высказал предположение, что для фику|
ни с л о не п р и водимый!
v..i^
т
сированного натурального числа п
над 1FP многочленов вида хп + х + а ? Fp [х] асимптотически равно pin при
р оо. Он доказал это для случая п ~ 3. Этот чай рассмотрен также в статье
Carlitz [103 3. Леонард (Leonar [1J) обобщил это доказательство т случай
п~ 4 (см., кром| того, Leonard [31), а в работе Leonard [21 он доказал
ослаблещ| ную форму гипотезы Човлы для п - 5. В статье Williams К.
[13 3 гипотеза Човлы доказана для п < 5. Общее доказательств гипотезы
Човлы (и нашей теоремы 3.86) получено Коэном lien S. D. [5]) и Ри (Ree
[11). Коэн (Cohen S. D. [5]) доказал более общий асимптотический
результат о числе неприводимЩ|| многочленов вида f (ж) -f ag (х) с
заданными f, g С 1х] и h|W меняющимся а С Fe. См, также Cohen S. D. [6 3,
Hayes [6l|j Leonard [5], Дальнейшие результаты о трехчленах вида хп + х -
f- а над простым конечным, полем 1Гд имеются, в работ Mortimer, Williams
[11, Sato, Yorinaga [11, Uehiyarna [8 3
Will iams K. S. [131. В статье Cazacu, Simovici, fl .1 дается алг
ритм построения неприводимых трехчленов вида ахп + х над конечными полями
характеристики 2, Доказательства ремы 3.87 имеются в работах Berlekamp
[4, ch. 61 и Swan П
Таблицы неприводимых трехчленов над полем 1Д имеютс в следующих
источниках: Golomb [4, ch. 51, Golomb, Welclflf Hales [l ], Zierler [71 и
Zierler, Brill hart [13, 121. В статье Fred ricksen, Wisniewski [i I
рассматриваются специальные класс неприводимых трехчленов над if3.
Примитивные трехчлены над^ I приводятся в статьях Rodemich, Rumsey [11,
Zierler [6] и Zte"
Щ
Комментарии
177
ler. Brillhart 11 J, 12]. Различные результаты о порядках трехчленов над
(Га и таблицы этих порядков имеются в работах Go* jomb f4, ch, 5],
Golomb, Welch, Hales [1], Young [1], Zier-ler 18) и Аракелов, Тененгольц
[11. В статьях Вajoga [1] и Baj-0ga, Walbessef 111 изучаются элементы
поля характеристики 2, минимальные многочлены которых над являются
трехчленами. Списки некоторых неприводимых трехчленов вида хп + х + а над
простым конечным полем имеются в статье Mortimer, Williams [1 ].
Таблицы разложения трехчленов на множители имеются в следующих работах:
Beard, West 13], Golomb 14, ch. 5], Golomb, Welch, Hales [1 ], Zierler
[7] и Zierler, Brillhart 11], 12]. Голомб (Golomb 14, ch. 5]) выдвинул
гипотезу, что степень каждого неприводимого делителя трехчлена -f
xr~] + 1, где г = 2П,
иад полем ?<г делит число 6п. Эта гипотеза была доказана в статье Mills,
Zierler И ], причем даже в более сильной форме (а именно что каждая такая
степень делит или 2п> или 3п, но не п), а затем обобщена Карлицом
(Carlitz 1112]) на случай произвольного конечного поля. Мнллс (Mills (31)
доказал, что степень каждого неприводимого делителя трехчлена xr+i + х -
{- 1, где г = qn, над полем fq делит число Зп, Многие другие результаты
подобного типа можно найти в работах Golomb 14, ch. 5] и Marsh Mills,
Ward, Rumsey, Welch 11 ]. Вопрос о разложении трехчлена f ах2 f b над
конечными простыми полями рассматривается
статьях Carlitz 173], [103].
х4
Теперь мы дадим обзор тех вопросов о многочленах, которые не были
упомянуты а данной главе. Существует обширная литература об обобщениях
классических вопросов теории чисел на случай кольца многочленов Fq 1х].
Проблема представления многочлена в виде суммы неприводимых многочленов
(обобщенная форма проблемы Гольдбаха для Ы) рассматривается в статьях Саг
[2], Cherly [2], Hayes [1], 14] и Webb И]. Представление многочленов в
виде суммы двух неприводимых многочленов и некоторого квадрата изучалось
в работе Саг [6]; см. также Webb 11). Проблема представления многочлена в
виде суммы степеней многочленов (проблема Варинга для fg М)
рассматривается в статьях Car [1], [3], [4], Joly [1], Kubota R. М. [1],
Matthews К. R. [1 ], Paley [2] и Webb [2], [3]. Особенно интенсивно
изучался частный случай этой проблемы, касающийся представления
