Конечные поля. Том 1 - Лидл Р.
ISBN 5-03-000065-8
Скачать (прямая ссылка):
Я fb-
3.53. Найти многочлены /2 и h из предыдущего упражнения с помощью теоремы
3.39.
3.54* Представить все элементы группы IF29 через корень примитивного
многочлена х? -х -f 1 над F3 и найти минимальные многочлены над F3 для
всех
элементов поля f27,
3.55. Пусть 0 ? Ти - корень неприводимого многочлена х6 + х + 1 ? ? Fj,
1x1. Найти минимальный многочлен элемента {$ - 1 +¦ О2 + 9* над полем IF
2
56. Пусть 0 ? Гв4 - корень неприводимого миогочлеиа х6 4" х4 4- х3 НЬ х-
4- 1 ? ^2 U1- Найти минимальный многочлен элемента Р = 1 + 9 + 66
над полем Г2.
3.57. Найти все примитивные многочлены степени 2 иад полем F3-
3.58. Найти все примитивные многочлены степени 2 над полем F<.
3.59. Найти примитивный многочлен степени 3 над полем
3.60. Разложить многочлен g ? Fa [х] из примера 3.44 в кольце F" [х]
ля
я
получения примитивных многочленов иад полем F _
3.61. Разложить многочлен g ? F3 [х] из примера 3.45 в кольце IF8 [х] для
получения примитивных многочленов над полем F8.
3.62- Найти корни следующих линеаризованных многочленов из полей
разложения этих многочленов:
(a) L {*) = х8 + х* + х3 + х ? Fs [х]\
(b) L (х) = х9 + х ? Fa U1-
3.63. НаЙтн кории следующих многочленов в указанных полях, предвари
тельно определив нх аффинные кратные:
(a) / (х) = х7 + xe -f Xs + х2 + 1 ? F2 1х] в
(b) f(x) = х4^ 0x3-х2- (6+ 1)х + 1 - 9 ? F" [х] в F:S3I где 9
корень многочлена х3- х- I ? F3 [х].
3.64. Доказать, что для каждого миогочлеиа / положительной степени иад
полем Fqm существует ненулевой ^-многочлен иад Fgmi который делится на /.
3-65. Доказать, что наибольший общий делитель двух или более ненулевых
<?-многочленов иад полем Fgm снова является 9-много членом, но их
наименьшее
общее кратное не обязательно является ^-многочленом.
3-66. Найти наибольший общий делитель двух линеаризованных многочленов:
(a) !,<*) = х64 + х" + х" + х*+ х3 + х ? Г2 [х],
L2 (х) ~ х32 + х9 + х3 + х ? Fa [х];
(b) ^ (х) = х345 - xsl - х* + х5 4" * € F3 1*1,
* = *81 + * ^ м-
3.67, Найти символическое разложение следующих линеаризованных
многочленов на символически неприводимые сомножители иад указанными
простыми
полями:
(a) L (х) = х32 + хи + х8 + х* + ха + х ? Fa [х ];
(b) L (х) - х*1 - х9 - х3 - х ? F3 [х ].
3.68, Доказать, что ^-многочлен Lx (х) иад полем F"m делит qf-миогочлеи L
(х) над ГдТП в том и только том случае, если L (х) = L3 (х) (r) Lx (х) для
некоторого g-миогочлеиа L3 (х) над F"m-
184
Гл. 3. Многочлены над конечными полями
3.89. Доказать, что наибольший общий делнтель двух нлн более аффи ных ^-
многочленов иад полем !Рдт> не равных нулю одновременно, явля<
аффинным д-многочленом,
3.70. Пусть Ах {х) = Lx {х) - ах н А% (х) - Ц (х) - <х2 - два аффинн ^-
многочлена над полем F^rri- Доказать, что если At (х) делнт А2 (х), то ^-
м"
член Lx (х) делит ц- многочлен /,2 (х), '
3.71. Пусть f {x) ? [Fg [x] - неприводимый многочлен, такой, что /(0) Ф
0, н пусть F (х) - лннеарнзованный ^-ассоциированный с ннм многочл)
Доказать, что многочлен F (х)/х неприводим в кольце Fg [х] тогда н толы
тогда, когда fix) является примитивным многочленом над Fg или отлнча от
такого многочлена ненулевым постоянным множителем.
3.72. Пусть ? - элемент нз конечного расширения поля Fgm. Доказа
что ? является корнем q-многочлена К (х) над Fym. тогда и только тогда,
ког К (х) делнтся на минимальный g-многочлен элемента ? над F^m-
3.73. Доказать, что для ненулевого многочлена f ? fq \х]
? (г) - "*• <"
где сумма распространяется на все нормированные делители g ? Fg [х] м
члена /, а функция Фд введена перед леммой 3.69.
3.74. Для ненулевого многочлена / ? Fg [х| н многочлена g ? Fg !
удовлетворяющих условию НОД (/, g) - 1, доказать, что gk = 1 (mod f), ft
" Фд if)-
3.75. Определим функцию рд ий множестве S ненулевых многочленов нз кольца
Fg [х] следующим образом: рд (/) - 1, еслн deg (/) = 0; рд ф
если f имеет хотя бы один кратный корень; Рд (/) - (-1)\ если deg {/) ^ /
имеет лишь простые корни и k - число неприводимых сомножителей в ка
ннческом разложении многочлена f в кольце Fg [х]. Доказать следующие св
ства:
, * п / ч _ f if если deg № = О,
а ? N S j 0) еслн deg (/)>!; ^
(Ь) Рд (fg) ^ Рд ([) Рд (g) Л(tm) а^ех /, g ? S, таких, что
НОД (f, g)
.dee (й).. т
¦Ь'
Ь-
(с) 2
Цд C//S) = ф? (/) Дл й всех /^5;
{d) еслн ф - отображение нз 5 в аддитивную абелеву группу G, обладщ
свойством ф (cf) = ф {() для всех с ? F? н f ? S, и У (/) - 2 Ф (&) Для f
? S, то ф if) - 2 J% dig) ч ig) = S Pg (g) 4 {fig) для всех f ? $.
Здесь 2 обозначает сумму, распространенную на все нормированные телн g ?
Fg [х] многочлена f.
3,78. Доказать, что чнсло различных нормальных базисов поля Fgm
Fg равно
\Ai
j*
\ т
П
d | т
0
при условии, что НОД (т, q) - 1 и показатель, которому принадлежит чн< по
модулю т, равен tp (т).
3.77. Определение автодуального базнса было дано в примере 2.31. Пока;
что при нечетном числе т автодуальный базнс поля F2m над F2 существу!
{Указание. Показать предварительно, что чнсло различных нормальных баз:
