Курс теоретической механики Том 1 - Леви-чивита Т.
Скачать (прямая ссылка):
2. Тонкий стержень AB, наклоненный под углом 6 к вертикали, направленной вверх и проходящей через конец А, вращается вокруг этой вертикали с постоянной угловой скоростью со. Тяжелый шарик может двигаться без трения по стержню. На каком расстоянии I от А шарик может находиться в относительном равновесии?
В. Тяжелый шарик может двигаться без трения вдоль окружности, которая равномерно вращается вокруг вертикальной оси, лежащей в плоскости окружности.
Показать, что для шарика, в зависимости от случая, могут быть четыре, два или ни одного положения относительного равновесия.
4. Применить статическое понятие об устойчивости (гл. IX, § 4) к относительному равновесию тяжелой точки, вынужденной оставаться на сфере, вращающейся без трения вокруг вертикальной оси (п. 8).
[Принимая во внимание, что работа реакции при перемещении точки по сфере равна нулю, мы придем к рассмотрению (гл. IX, п. 19) потенциала двух сил, веса и центробежной силы, в окрестности положения равновесия.]
5. На какой поверхности, в предположении, что она абсолютно гладкая и равномерно вращается вокруг вертикальной оси, тяжелая точка может находиться всюду в относительном равновесии?
Ответ. На параболоиде (<о2/2) (ж2 -)- г/2) — ди = const (ось Ог направлена вертикально вверх).
6. Пусть С—твердое тело, равномерно вращающееся вокруг неподвижной оси, в- — центр тяжести тела. Найти результирующую R и результирующий момент M центробежных сил относительно какой-нибудь точки О оси и вывести затем условия, при которых система центробежных сил равносильна одной силе или одной паре или нулю.
Ответ. Результирующая Jt тождественна с центробежной силой точки (?, в предположении, что в ней сосредоточена вся масса тела. Если за систему отсчета примем систему осей с началом в точке О и с осью г, направленной по оси вращения, то получим
M= <s>2 (—A'i + B'j), где а> — есть угловая скорость и А', В' — произведения инерции 2
2 rMiZiXi. і 320
гл. xvi. относительное равновесие
1J. Твердый диск движется произвольным образом в своей плоскости. Определить (на основе п 59 гл. Vj систему приложенных векторов, составленную из переносных сил инерции.
8. Показать, что материальная точка Р, находящаяся под действием центральной притягивающей силы (гл. VII, п. 29, в), может равномерно описывать вокруг центра силы О произвольную окружность С, лишь бы угловая скорость te имела надлежащую величину.
[Условие, которое накладывается на Р, равносильно, очевидно, требованию находиться в относительном равновесии по отношению к осям, лежащим в плоскости окружности С и равномерно вращающимся вокруг точки О с той же самой угловой скоростью <о, с к кой вращается радиус точки Р.
Тогда все сведется к выбору угловой скорости ю таким образом, чтобы центробежная сила уравновешивала притяжение.]
9. Показать (применяя указание предыдущего упражнения), что система, состоящая из двух материальных точек P и Pj, притягивающихся по закону Ньютона, может равномерно вращаться (так, как если бы точки были неизменно связаны) вокруг их центра тяжести. Угловая скорость должна в этом случае удовлетворять соотношению
f (т -4-»«)) ю =—WT- •
где т, Wi представляют собой массы обеих точек, d есть расстояние между ними и f—постоянная тяготения.
10. Указать конфигурацию относительного равновесия равномерно вращающейся і ибкой и нерастяжимой нити. Предполагается, что концы А и В нити прикреплены к двум точкам оси вращения, что нить однородна и весом ее можно пренебречь по сравнению с центробежной силой.
11. Ремень трансмиссии весит 270 г на погонный метр. Он движется со скоростью 15 см/се к.
Сопротивление, которое надо преодолеть (в обозначениях § 6), имеет момент у = 20 (где силы выражены в килограммах, а длины в метрах). Положив г = 0,6 м, f = 0,28, 6 = я (в предположении, что оба шкива С и C1 равны), найти растягивающие усилия Ta и Tb.
Ответ. Ta = 20,8 кг; Tb = 62,5 кг.
12. Показать, что если бы угловая скорость Земли была в 17 раз больше, то тела на экваторе (приближенно) были бы лишены веса. ИМЕННОЙ И ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютно твердое тело 107 Аристотель 246
Бернулли Даниил 234 Бернулли Иван 246 Бернулли Яков 234
Вес 313
Весы Квинтенца 262 Взаимность (корреляция) 181 Висячие мосты 196, 205 Вращение горизонтального вала 292
Галилей 246, 256 Главные оси инерции 45 Гюйгенс 41 Гюльден 39
Декарт 246
Диаграмма Кремона 177 Диаграммы взаимные Кремона 180
--Максвелла 193
Динамометр 232
Закон всемирного тяготения 65
Кастелли 256 Кёттер 168
Коэффициент сцепления 137 Кремона 193 Кулон 6 Кэвендиш 66
Лагранж 31, 32, 246 Лаплас 69
Лапласа уравнение 69 Максвелл 193
Максвелла теория взаимных диаграмм 193
Масса тела 23 Машины простые 258 Маятник бифилярный 263 Метод множителей Лагранжа 268
— моментов (метод Риттера) 174
— сечений (метод Кульмана) 173 Многоугольник веревочный 153, 177,
187
— силовой 157, 177, 178 Момент изгибающий 226
— инерции относительно оси 40
— — полярный 32
— крутящий 226
