Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
С (I, J) Элемент квадратной матрицы С = А-1, см.
(2.107)
N Число, равное числу узлов —
T(I) Элемент столбцевой матрицы Т, 'см. (2.1056) 0C
Итерационный метод
Для численного решения задач на ЭВМ очень удобен итерационный методу основанный на непосредственном определении температуры в каждом узле из разностного уравнения баланса энергии для этого узла. Например, если мы рассматриваем уравнение баланса энергии для внутреннего узла двумерного твердого тела, то получаем уравнение (2.94):
Ti + T2 + Tz + T4-4TQ = 0.
Разрешая это уравнение относительно температуры в узле 0, получаем
Тъ=\{Тх + Т2 + Тъ + Т4).
Это соотношение типично для внутреннего узла в твердом теле с постоянными теплофизическими свойствами при отсутствии внутреннего тепловыделения, если применяется сетка с квадрат-
Стационарная теплопроводность 100
ными ячейками. Аналогичное соотношение получается для температуры в узле, расположенном на границе тела. Например, если узел 0 находится на границе, где происходит конвективный теплообмен с окружающей средой, температуру T0 можно найти из уравнения (2.96):
Г _ 0,5 (T2 + Г3) + T1 + Bi T00 io~ 2+"Bi *
Соответствующие выражения для других граничных условий можно легко получить из уравнений, приведенных в табл. 2.3.
Итак, температуру в каждом узле можно выразить через температуры в соседних узлах. Число полученных соотношений равно числу узлов с неизвестными температурами.
При использовании итерационного метода последовательно выполняются следующие четыре операции.
Операция 1. Выводят разностные уравнения, записав баланс энергии для каждого узла с неизвестной температурой. Из каждого уравнения выражают в явном виде температуру узла, для которого составлялся баланс энергии. Уравнения для всех внутренних узлов одинаковы по форме. Уравнения для граничных узлов будут различными в зависимости от типа граничных условий в конкретной задаче. Данные табл. 2.3 помогут определить уравнения для граничных узлов.
Операция 2. Задают ряд значений температур во всех узлах. Если задача будет решаться вручную, разумная начальная оценка всех температур позволит снизить затраты времени на вычисление истинных значений температуры в каждом узле. Если проводится численный расчет на ЭВМ, удобно принять все начальные температуры равными нулю.
Операция 3. Вычисляют новые значения температур, используя уравнения, полученные при операции 1. Как только получено новое значение какой-либо температуры, немедленно заменяют ее старое значение новым, так что новые значения температур в узлах все время вычисляют с использованием самого последнего приближения для остальных температур. Это позволяет уменьшить время сходимости решения к конечным стационарным значениям температур. Этот частный вид итерационного метода часто называют методом Гаусса — Зайделя.
Операция 4. Повторяют операцию 3 до тех пор, пока разность между новым и предыдущим приближениями для всех температур не станет меньше заданной величины.
Применение итерационного метода иллюстрируется на следующих двух примерах. Первая задача (система всего лишь из трех уравнений) решается вручную. Во второй фигурирует 15 уравнений, и такую задачу нужно решать на ЭВМ. Выше обе задачи были решены другими методами, поэтому можно проверить точность итерационного метода.
ПО Глава 2
Пример 2.14. Найти температуры в узлах 4, 5 и 6 для примера 2.12, применяя итерационный метод. Сравнить результаты расчета с точными значениями для примера 2.12 и с данными, полученными методом обращения матрицы (табл. 2.4).
Решение. В примере 2.12 нужно было определить температуры в узлах 4, 5 и 6. Уравнения баланса энергии для этих трех узлов имеют вид
узел 4: 400 + T5 — IT4 = 0, узел 5: 300 + T4 + T6 — 4F5 = 0, узел 6: 150 + ^5-27^6 = 0.
Теперь выполним четыре операции, описанные выше при рассмотрении итерационного метода.
Операция 1. Выразим в явном виде температуру в каждом узле:
узел 4: T4 = 400/7 + Г5/7,
узел 5: T5 = 300/4 + Г4/4 + Гб/4,
узел 6: T6*= 150/2 + Г5/2.
Операция 2. Зададим начальные значения температур в узлах. Разумной оценкой для начальных значений этих трех температур будут значения T4 = = 8O0C, T5 — Ю0°С, T6 = 15O0C Это те же начальные значения, которые были использованы при решении системы трех уравнений методом релаксации.
Операция 3. Вычислим новые значения температур, используя уравнения, полученные в ходе выполнения операции 1. Как только будет получено новое значение температуры, сразу используем его при последующих операциях:
T4 = 400/7 + 100/7 = 71,430C, T5 = 300/4 + 71,43/4 + 150/4 = 130,36°С, T6 = 150/2 + 130,36/2 = 140,180C
Операция 4. Повторяем операцию 3 до тех пор, пока значения температур, полученные при двух последовательных приближениях, не будут сходиться с заданной степенью точности. Предполагая, что температуры, полученные при двух последовательных приближениях, не должны отличаться более чем на 0,10C, повторяем операцию 3. Ниже приведена таблица, в которой собраны результаты расчетов.
Номер итерации t4, °С t51 °С Гб,°С
Начальное приближение 80 100 150
