Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Определив с помощью пробника, соединенного с вольтметром, положение линий постоянного потенциала, можно отключить граничные условия и найти положение ортогональных линий— линий постоянной силы тока. Эти линии соответствуют линиям постоянной плотности теплового потока. Применяя описанный метод, можно точно построить всю совокупность криволинейных четырехугольных ячеек на поверхности модели и определить величину формфактора теплопроводности точнее, чем с помощью графического метода.
Преимущество метода электротепловой аналогии заключается в том, что он позволяет найти положение изотерм и линий постоянной плотности теплового потока без помощи метода проб и ошибок, как в графическом методе, но его недостатком является применение специального оборудования. Для графического же метода требуются лишь карандаш, бумага и терпение. Однако практически применимость обоих методов ограничена двумерными задачами с простыми граничными условиями, такими, как изотермические и теплоизолированные границы. Более подробное описание метода электротепловой аналогии можно найти в работах [8, 9].
Численные методы
Численные методы являются мощным и гибким средством решения задач стационарной теплопроводности. Их можно успешно применять для решения задач, которые трудно решить другими методами. Например, с помощью численных методов можно решать задачи с излучением на границах или с внутренним тепловыделением. Графический метод и метод электротепловой аналогии неэффективны для решения задач этих двух типов.
При использовании численного метода конечных разностей твердое тело представляют в виде совокупности узлов. Для каждого узла записывают баланс энергии, получая в итоге алгебраическое уравнение для температуры в каждом узле. Отдельные уравнения записывают для каждого узла, расположенного
92 Глава 2
на границе твердого тела. В результате применения метода конечных разностей получают п алгебраических уравнений для п узлов в твердом теле. Эти п алгебраических уравнений заменяют одно уравнение в частных производных с соответствующими граничными условиями.
Если узлов в твердом теле сравнительно мало, можно решить полученную систему алгебраических уравнений стандартными математическими методами. При возрастании числа узлов для
Рис. 2.17. Расположение узлов внутри двумерного твердого тела; толщина тела d, коэффициент теплопроводности к.
получения точного решения требуется слишком много времени. В этом случае полезно применить приближенные методы решения. Одним из них является метод релаксации, который мы рассмотрим прежде всего.
Когда уравнений становится много, необходимо использовать программируемые калькуляторы и ЭВМ. В этот раздел включены две программы численного расчета, чтобы показать, какие типы двумерных задач теплопроводности лучше всего решать численными методами на цифровых вычислительных машинах.
Чтобы проиллюстрировать метод конечных разностей, рассмотрим двумерную задачу теплопроводности. Во-первых, разделим твердое тело на равные элементарные прямоугольники. Представим, что масса каждого элементарного прямоугольника сосредоточена в его центре, называемом узлом. На рис. 2.17 показана внутренняя область типичного двумерного твердого
Стационарная теплопроводность 93
тела. Каждый элементарный прямоугольник имеет длину Ал: в направлении х и длину Ar/ в направлении у. Узел, обозначенный символом 0, окружен четырьмя соседними узлами. Представим, что каждый узел связан с соседними узлами тонкими теплопроводными стержнями. Тепло может передаваться только по этим воображаемым стержням. Другими словами, кондуктивный перенос тепла между узлами 0 и 1, который в действительности происходит в непрерывном материале через поверхность раздела высотой At/, мысленно заменяется переносом тепла через воображаемый стержень, соединяющий узлы 0 и 1.
В установившихся условиях баланс энергии для узла 0 при отсутствии внутреннего тепловыделения записывается в форме
Затем, применяя закон Фурье для каждого члена, выражаем это уравнение через температуры в узлах. Например, первый член принимает вид
где градиент температуры определяется посередине между двумя узлами, a d — толщина двумерного тела по нормали к плоскости чертежа. Аналогичные выражения можно записать для остальных трех членов:
q^0~kAxdTi-r,>
T
kkyd-
<74_»0 ~kAxd Та~уТо .
Если ячейки сетки имеют квадратную форму, то Дя = At/, и каждое из уравнений для теплового потока становится независимым от формы тела. Однако погрешность замены градиента температуры конечной разностью двух температур зависит от размера каждой ячейки. Чем меньше ячейка, тем точнее аппроксимируется градиент температуры.
Подставляя четыре конечно-разностных соотношения в уравнение (2.93), можно видеть, что для сетки с квадратными ячейками при постоянном коэффициенте теплопроводности баланс энергии для узла 0 сводится просто к соотношению между температурой в этом узле и температурами в четырех соседних узлах:
T1 + T2 + T3 + T4 - AT0 = 0. (2.94)
Соотношение вида (2.94) применимо ко всем внутренним узлам, т. е. ко всем узлам, не лежащим на границе твердого
