Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Матричный метод
Методом релаксации удобно решать задачи теплообмена^ когда число разностных уравнений баланса энергии сравнительно невелико. Однако он неудобен для численных расчетов на ЭВМ, поскольку необходимо выбирать уравнение с наибольшим остаточным членом. ЭВМ работает последовательно, й трудно добиться, чтобы процесс выбора максимального значе^ ния из некоторого ряда проходил достаточно эффективно. При решении задачи на ЭВМ вместо метода релаксации применяются другие методы.
Если для повышения точности или при больших размерах тела требуется решить систему большого числа разностных уравнений, желательно применять ЭВМ. При расчете на ЭВМ распределения температуры в двумерном или трехмерном твердом теле удобно использовать метод обращения матрицы. 3TOf метод основан на представлении системы уравнений баланса энергии для узлов в форме матрицы. Например, если мы пред^ ставили твердое тело в виде совокупности п узлов, система раз* ностных уравнений баланса энергии может быть записана в виде
^11^1+^12^2+ ••• +а\пТП=Ь{у а2\Т\ + ^22F2 + • • • + й2пТп — 1>2>
йп\Т\ + йп2Т2 + . . . + <*ппТп — bfi>
где aii и bi — известные постоянные, a Tj — неизвестные температуры.
Используя матричные обозначения, систему уравнений (2.103) можно записать в сжатом виде:
AT = B, (2.104)
(2.103)
104 Глава 2
где А — квадратная матрица коэффициентов (я X^), имеющая форму
(2.105а)
«II «12 ' # «In
«21 «22 • * «2л
«л! «Л2 * «лл
a T и В — столбцевые матрицы, состоящие из п элементов каждая:
(2.1056)
T1
T= ., B = :
Tn і
Чтобы вычислить неизвестные температуры, нужно найти обращенную матрицу А-1, после чего температура определяется из уравнения
T = A-1B. (2.106)
Если элементы обращенной матрицы записать в виде
С2п
(2.107)
сл1 сл2
то неизвестные температуры в узлах определяются уравнениями
СцЬі + С12Ь2 + С13Ьг + ••• +СіпЬп = Ти
c2lb{ + c22b2 + c2Zb3 + ... -f c2nbn = T2,
(2. luo)
спФі + cn2b2 + cnZbz + ... + cnnbn = Tn.
Поскольку все величины bi известны, задача вычисления температур сводится к определению обращенной матрицы А"1. Обращенную матрицу можно найти с помощью стандартных математических методов [6], если число узлов не слишком велико. При большом числе узлов элементы обращенной матрицы можно быстро рассчитать на ЭВМ с помощью подпрограмм из библиотеки стандартных программ. Методика численного расчета иллюстрируется на следующем примере.
Пример 2.13. Найти стационарное распределение температуры в двумерном твердом теле, показанном на рисунке а. Использовать сетку с квадратными ячейками Д# = Д# = 5 см. Две границы изотермичны, третья теплоизо*
Стационарная теплопроводность 105
лирована, а на четвертой происходит конвективный теплообмен. Сравнить результаты расчета с решением примера 2.12.
T= 2000C
Окружающая среда
Ас= 50 Вт/(м2.Н) T= 500C
20 см
1
P
> ?=1Вт/(м-град) ^Поверхность 0?= 0 ^теплоизоли-
% рована
I
і
Г= 1000C —20 см-
К примеру 2.13(a).
Решение. На теле строится сетка с квадратными ячейками, как показано на рисунке б. Все узлы с неизвестными температурами пронумерованы. Температуры в узлах верхней и нижней поверхностей известны, нужно найти температуры в 15 узлах. Для решения системы 15 уравнений методом релаксации требуется много времени, поэтому разумной альтернативой является проведение численного расчета на ЭВМ с использованием подпрограммы обращения матрицы.
и,
I I -4----L— і I -4--- ті
MOlO 1 і 2 I 3 ~г—1— і о _!_!_ I
! о и
> і О J О П_| 12__[ 13 і -[.лі- к і .і .
Ay
К примеру 2.13(6).
Прежде всего нужно найти значения элементов матриц А и В, входящих ? уравнение (2.103). Все разностные уравнения баланса энергии для внутренних узлов имеют вид (2.94). Разностные уравнения для граничных узлов можно выписать из табл. 2.3. В эти уравнения входят следующие постоянные параметры: Bi = ficAx/k = 50-0,05/1 = 2,5; (Bi)T00 = 2,5-50 = = 125°С; 2 + Bi = 4,5. Система 15 разностных уравнений баланса энергии в матричной форме (2.103) записывается следующим образом:
узел 1: — 4,571, + T2 + 0,5Гб = —225,
узел 2: T1 — 4T2 + T3 + T7 = —200,
узел 3: T2 — 4T3 +T4+ T8 = —200,
узел 4: Г3 — 4T4 + T5 + T9 = —200,
узел 5: T4 — 2T5 + 0,57\0 = —100,
узел 6: 0,5F1 — 4,5Г6 + T7 + 0,5ГП = —125,
узел 7: T2 + T5 - 4T7 + Ть+ T12 = 0,
106 Глава 2
узел 8: T3 + T7 — 4Г8 + T9 + T13 = 0, узел 9: T4 + T8 — 4T9 + T10 + T14 = 0, узел 10: 0,5F5 + Г9 — 2Г10 + 0,5Г15 = 0, узел 11: 0,516-4,57^ + 7^2 = -175, узел 12: T7+ Tn- 4T12+T13 = —100, узел 13: 7^ + 7^2-47^3 + 7^4 = --100, узел 14: T9 + T13 - 4T14 + T15 = —100, yiel 15: 0,5Г10 + T14 - 2Г15 = -50.
Теперь можно найти элементы матриц А и В, анализируя коэффициенты этих 15 уравнений. Постоянные в правых частях уравнений являются элементами столбцевой матрицы В. Многие элементы матрицы А равны нулю, а ненулевые элементы группируются около главной диагонали.
Следующей операцией является обращение матрицы А. Элементами обращенной матрицы являются величины сц [см. уравнение (2.107)]. Обращение матрицы такого размера вручную потребует много времени. К счастью, имеются стандартные библиотечные подпрограммы, которые можно применить в короткой программе численного расчета 15 неизвестных температур.
