Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
94 Глава 2
Окружающая среда
тела и окруженным со всем сторон равноотстоящими квадратными ячейками сетки.
Иначе выражается баланс энергии для узлов, расположенных на границе твердого тела. Рассмотрим, например, узел О, расположенный на границе твердого тела, которая находится в контакте с окружающей средой. Температура среды равна T00,
коэффициент конвективной теплоотдачи от окружающей среды к твердому телу равен hc. Соответствующая схема представлена на рис. 2.18. Каждый граничный узел расположен в центре соответствующего элементарного прямоугольника. Отметим, что масса, соответствующая каждому граничному узлу, равна половине массы, соответствующей каждому внутреннему узлу.
Узел 0, расположенный на границе, может обмениваться кондуктив-ным потоком тепла с тремя соседними узлами в твердом теле и, кроме того, конвективным тепловым потоком с окружающей средой. Следовательно, баланс энергии для узла 0 записывается следующим образом:
<7l-»0 + ?2->0 + ?3-»0 + ?со-»0 = °-
Первые три члена выражают кондуктивный тепловой поток в твердом теле, а последний — конвективный тепловой поток к узлу 0 от окружающей среды, параметры которой обозначены индексом со. Подставляя конечно-разностные аппроксимации закона Фурье для первых трех членов и закона Ньютона для последнего члена, получаем
Рис. 2.18. Расположение узлов в двумерном твердом теле, омываемом жидкостью; толщина тела dy коэффициент теплопроводности к.
kAyd
+ k-^-d —JT71--h к -тг d —^--h
Ay 1 2 Ay
+ hc Ay d (T00 — T0) •
:0. (2.95)
Соотношение (2.95) можно упростить, если выбрать сетку с квадратными ячейками, Ax = Ay. В этом случае оно сводится
Стационарная теплопроводность 95
к виду
j (T2 + T3) + Г, + (-?^) T00 - [2 + (Ц^-)] T0 - 0. (2.96)
Температуры в граничных узлах зависят от температур в соседних узлах и от параметра hcAx/k. Этот безразмерный комплекс имеет форму числа Био.
Применение конечно-разностного метода иллюстрируется на следующем примере.
Пример 2.12. Определить стационарное распределение температуры и тепловые потоки от всех четырех поверхностей двумерного твердого тела, показанного на рисунке. Две поверхности изотермичны, третья теплоизолирована, а на четвертой происходит конвективный теплообмен.
Поверхность Лс=50Вт/(м2.град) J =50 °С I
20 см
Поверхность В ГД = 200°С
I
к~1 Вт/(м-град) 'т Vg = Q ^/Поверхность С
ТАТеПППИЯ
Толщина d
-20 см-
тлтеплоизолиро-у/, вана
.Поверхность/) Tn = 1000C
К примеру 2.12.
Решение. Сначала нанесем на тело сетку с квадратными ячейками, кай показано на рисунке. Пронумеруем узлы цифрами от 1 до 9. Основная ячейка сетки представляет собой квадрат со стороной Д# = Д# = 10 см. Неизвестны температуры только в трех узлах: 4, 5 и 6. Узел 5 является внутренним, так что применимо соотношение (2.94):
Т4 + Т2+Т6 + Т8-4Т5*=0.
Узел 4 лежит на границе, на которой осуществляется конвективный перенос тепла, поэтому применимо соотношение (2.96)
\ (T1 + T7) + T5 + (Bi) T00 - (2 + Bi) T4 - О,
96 Глава 2
где
_. hcAx 50-0,10 -Bi=-—=-j-= 5.
Узел 6 расположен на теплоизолированной границе, и для него баланс энергии записывается следующим образом:
^3-»6 + 45-»6 + 4We = 0.
Ax Л T3-T6 . l1K11^ T5-T6 u Ax T9 — Tq или k — d Ay +kbyd—j^ + k — d ^у =0,
или у (Гз + T9) + T5- 2TQ = 0.
Температуры в остальных шести узлах известны, так что для них записывать баланс энергии не нужно. В этих шести узлах достигаются следующие температуры: T1 = T2 = T3 = 200°С, T7 = T8 = T9= Ю0°С. Подставляя эти значения в уравнения энергии для узлов 4—6, получаем
400 + T5 — 7Г4 = 0 (узел 4), 300 + Г4 + T6 - 4T5 = 0 (узел 5), і50 + 7\і-2Гб = 0 (узел 6).
Температуры Ti T5 и T6 можно найти, решая эту систему трех уравнений. В результате получаем T4 = 75,50C, T5 = 128,7°С, T6 = 139,40C
Чтобы определить тепловые потоки на единицу толщины для каждой поверхности, используем конечно-разностную форму закона Фурье для коидуктивного теплового потока и закона Ньютона — для конвективного.
На поверхности А теп «овой поток на единицу толщины, направленный в твердое тело, равен
Я А — ?оо->1 * *7оо->4 "Г" *7оо->7»
Я а - К Л*/ [Т°°~ТХ + (T00 - T4) + Т°°~Т7] = - 627,5 Вт/м.
Следовательно, с поверхности А твердого тела отводится конвективный тепловой поток 627,5 Вт/м. Знак минус показывает, что тепловой поток отдается твердым телом.
На поверхности В тепловой поток на единицу толщины, направленный в твердое тело, равен
Qb = <7і-И + ?2->5 + <7з-»б + <7i->oo =
-k Ах (т ++і 1^F)+h°% ^-т^ m? вт/м-
Поверхность С теплоизолирована, поэтому qc = 0. На поверхности D
+ He-^-(T7- Тм) = 88,8 Вт/м.
Чтобы проверить полученные значения теплового потока, используем известное требование, чтобы в установившихся условиях суммарный тепловой поток в твердое тело был равен нулю:
<4м ^Яа + Яв + Яс + Яо*=- 627>5 + 538>8 + 0 + 88>8 a°'1 вт/м-
Величина результирующего теплового потока в твердое тело показывает уро* вень точности решения данной задачи методом конечных разностей.
Стационарная теплопроводность 97
