Основы теплопередачи - Крейт Ф.
Скачать (прямая ссылка):
Г4 = 76°С, #4 = 3°С, Г5=135°С, /?5=-14°С, Г6=150°С, /?6=-15°С.
Повторяем эту операцию дважды, изменяя сначала Гб, а затем Г5. Уменьшая T6 на 1O0C, получим
T4 = 760C, R4 = S0C1
T5= 1350C, R5 =- 240C,
T6= 14O0C, /?6 = 5°С.
Уменьшая T5 на 7°С, получим
T4 = 760C, Я4=-4°С,
T5= 1280C, R5 = 40C1
T6=HO0C, #6==-2°С.
После четырех операций релаксации все температуры отклоняются от точных значений, найденных в примере 2.12, не более чем на ГС. Результаты действий при предыдущих операциях лучше всего свести в таблицу типа табл. 2.2. Систематизируя операции релаксации и регистрируя получаемые результаты в таблице, можно свести к минимуму выполняемую работу.
Таблица 2.2
Сводка значений температур и остаточных членов для примера 2.12
Операция т< *4 T5 Г6 Яб
Начальная оценка 80 100 150
Начальные остаточные члены -60 130 -50
Увеличение T5 на 35 80 135 150
Новые остаточные члены -25 -10 -15
Уменьшение T4 на 4 76 135 150
Новые остаточные члены 3 -14 -15
Уменьшение T6 на 10 76 135 140
Новые остаточные члены 3 -24 5
Уменьшение Ть на 7 76 128 140
Новые остаточные члены -4 4 -2
4*
100 Глава 2
Метод конечных разностей с использованием релаксации можно распространить на случай цилиндрических координат; соответствующие разностные уравнения приведены в работе -[5].
Таблица 2.3
Разностные уравнения баланса энергии для граничных узлов двумерных тел; сетка с квадратными ячейками (Дх = Дг/)
Рассматриваемый случай
Схема
Разностное уравнение
Плоская поверхность, изотермическая граница
q»^ + T1-T0=R0
qM— плотность теплового потока на поверхности)
Плоская поверхность, теплоизолированная граница
Плоская поверхность, омываемая жидкостью
Внешний угол, обе поверхности теплоизолировании
Внешний угол, обе поверхности омываются жидкостью
Ht2+TJ+Tx-It0=R0
Окружающая среда
Окружающая среда' Лс» T00
HT2+T3)+T1 + (Bi)T90 -(2 + Bi)T0=A0 (Bi = hcbx/k)
HTi +T2)-T0= R0
HT1 + T2^(Bi)T00-
-(X+Bi)T0 = R0 (Bi = hcbx/k)
Стационарная теплопроводность 101
Внутренний угол, обе поверхности теплоизолированы
Внутренний угол, обе поверхности омываются жидкостью
Если в твердом теле происходит внутреннее тепловыделение, метод релаксации применим без каких-либо усложнений. Предположим, что в некотором внутреннем узле 0 интенсивность тепловыделения на единицу объема составляет qfQ . Баланс энергии для этого узла в двумерном теле, окруженного четырьмя соседними узлами (рис. 2Л7), записывается в виде
AWo + ?2-*а + ?з-»о + <74-»о + Qg = °-
Заменяя каждый член, выражающий составляющую теплового потока, конечно-разностной аппроксимацией закона Фурье, получаем
кЬуаЬф + кШІ^ + кМ*^+ - -
+ kAxd Ti~yTo + <7'0"Ax Ayd 0. (2.97)
Если сетка с квадратными ячейками, уравнение (2.97) сводится к следующему:
tt + T2 + Ta + Tt-4T0 + q^^-^0. (2.98)
Если узел находится на границе твердого тела, форма разностного, уравнения баланса энергии зависит от типа граничного условия на поверхности. Например, такое уравнение баланса энергии для узла, расположенного на плоской поверхности, омываемой жидкостью, имеет вид (2.96). В табл. 2.Я указаны разностные уравнения баланса энергии при других граничных условиях. В каждом случае разностное уравнение баланса энергии записано для узла 0. - . _ .
102 Глава 2
До сих пор мы рассматривали задачи, в которых температура зависела только от двух линейных координат. Однако методы, разработанные для двумерных задач, можно легко распространить и на трехмерные задачи. Например, если рассмотреть типичный узел 0 в твердом теле с постоянными теплофизическими
Рис. 2.19. Расположение узлов внутри трехмерного твердого тела.
свойствами при отсутствии внутреннего тепловыделения, который окружен шестью узлами (рис. 2.19), то баланс энергии для узла 0 записывается в виде
AWo + ?2->о + ?з-»о + ?4+о + ?5-»о + ?б-»оA 0. (2.99)
Уравнение (2.99) можно записать через температуры в каждом узле, применяя для каждой составляющей теплового потока закон Фурье:
к Ay Az^^ + kAx Az^^ + kAyAz^^ +
+ kAxAz Г4~/° +kAxAy Тъ~гП +kAxAy Тб^Т° =0. (2.100)
Если сетка состоит из кубических ячеек, т. е. Ax = Ay = Az9 уравнение (2.100) можно упростить, получая в итоге
Гі + Г2 + Гз + Г4 + Г5 + Г6-6Го = 0. (2.101)
Следовательно, разностное уравнение баланса энергии для узла в трехмерной задаче при отсутствии тепловыделения, если узел находится внутри твердого тела и каждый из узлов расположен в центре кубической ячейки, означает просто, что сумма температур всех окружающих узлов равна ушестеренной температуре
Стационарная теплопроводность 103
центрального узла. Уравнение (2.101) подобно по форме балансу энергии для узла в двумерной задаче (2.94).
Если в трехмерном теле имеются внутренние источники энергии с интенсивностью тепловыделения в единице объема q'e', разностное уравнение баланса энергии для внутреннего узла имеет вид
rrr . 2
Tx + T2 + T3 + T4 + Ть + T6 - 6Г0 + 40 к =0. (2.102)
Приведенные в табл. 2.3 разностные уравнения баланса энергии для узла, расположенного на границе двумерного тела, можно обобщить на случай трехмерных задач. Предлагается вывести эти уравнения в качестве упражнения.
