Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
между tut' равна времени, которое нужно волне, распространяющейся со
скоростью уф, чтобы пройти расстояние г:
= (3)
Гф v '
Поэтому уравнение бегущей синусоидальной волны имеет вид гр(г, /) = гр(0,
t') - Л cos со/'=
= A cos со ^- ^-j = Acos(^co/-(4)
Заметим, что для фиксированного z смещение гр (г, t) является
гармонической функцией времени. Аналогично, для фиксированного времени t
функция гр (2, t) представляет собой синусоиду в пространстве. Конечно,
оба эти утверждения справедливы и для синусоидальной стоячей волны,
уравнение которой имеет, например, следующий вид:
гр(г, t) = В cos at cos (а-kz), (5)
где а - константа. Для фиксированного момента времени бегущая волна,
определяемая выражением (4), имеет такую же форму, что и стоячая волна
(5). Если уравнение бегущей волны переписать в виде
гр(г, t) - A cos (cot-kz), (6)
то мы сможем использовать понятие волнового числа k (и длины волны Я)
точно так же, как это было сделано в случае стоячей волны. Сравнивая
уравнения (4) и (6), мы видим, что для синусоидальной бегущей волны в
фиксированный момент времени скорость возрастания фазового угла на
единицу длины (это и есть величина k) равна
*=г- (7)
151
Это значит, что фазовую скорость можно выразить формулой
(8а)
или, так как co=2nv и k=2n!%,
(86)
или, так как v=l/T,
(8в)
Фазовая скорость синусоидальной бегущей волны является очень важной
величиной. Мы специально привели различные формы уравнения (8), которые
рекомендуем выучить наизусть. На рис. 4.1 показана синусоидальная бегущая
волна.
Выражения (8) имеют большое значение, и мы получим их другим способом.
Определим фазовую функцию cp (z, t) синусоидальной бегущей волны,
распространяющейся в направлении +z, как аргумент волновой функции cos -
kz):
При данном г фаза линейно растет со временем (член сot). Для заданного t
она линейно уменьшается с ростом г (член -kz). Увеличение z уменьшает
фазу, так как большего значения z достигает волна, испущенная раньше.
(Выбранная нами система знаков не может считаться универсальной. Иногда
имеют дело с фазой kz-a>t.) Если мы хотим следить за каким-нибудь гребнем
волны [максимум coscp(z, /)] или за ее впадиной [минимум cos cp(z, t)\
при распространении волны, то должны по мере увеличения времени
переходить ко все большим значениям г, с тем чтобы фаза <p(z, t) была
постоянна. Беря полный дифференциал от cp(z, 0 и полагая его равным нулю,
легко найти соотношение между г и t для точек постоянной фазы. Полный
дифференциал от cp(z, /) имеет вид
Он равен нулю, если
Мы получили равенство (8а).
Совпадают ли дисперсионные соотношения для бегущей и стоячей волны? В
главе 2 было показано, что дисперсионное соотношение, определяющее
зависимость частоты к" от волнового числа k (или k от со) для стоячих
волн свободных колебаний в данной среде, не
(9)
dq> dt-{- dz = a dt-kdz.
(10)
152
Гребень Впадина
ит.д.
и т.д.
зависит от граничных условий, хотя реализующиеся частные значения k
зависят от них. В главе 3 мы нашли, что стоячие волны вынужденных
колебаний замкнутой системы удовлетворяют тому же дисперсионному закону,
что и стоячие волны свободных ко- z=0 лебаний с определенными значениями
k, зависящими от граничных условий. (Мы открыли также волны нового типа,
а именноэкспоненциальные волны, которые появляются при воздействии на
систему с частотой, большей или меньшей частоты максимальной или
минимальной моды.)
Теперь, при рассмотрении бегущих волн в открытых системах, у нас есть
только одно граничное условие, относящееся к концу, соединенному с
передатчиком. Можно думать, что, как и раньше, дисперсионное соотношение
не будет зависеть от граничных условий. Однако бегущая волна отличается
от стоячей волны (свободных или вынужденных колебаний) тем, что различные
движущиеся элементы системы имеют разные фазы, тогда как в стоячей волне
(трением пренебрегаем) все движущиеся элементы имеют одинаковую фазу.
Не может ли это обстоятельство изменить дисперсионное соотношение? Как мы
сейчас покажем, дисперсионное соотношение остается неизменным.
Д исперсионное соотношение для линейной последовательности связанных
маятников. Рассмотрим частный случай (имеющий, однако, достаточно общее
значение), который покажет нам, что дисперсионное соотношение имеет одну
и ту же форму как для бегущих, так и для стоячих волн. Мы начали
рассмотрение бегущих волн, выбрав в качестве модели непрерывную струну.
Однако бегущие волны можно изучать, подобно стоячим волнам, на моделях с
и т. д.
Рис. 4.1. Вынуждающая сила (в точке 2=0) создает гармоническое движение с
периодом Т. В направлении -j-z распространяется бегущая волна.
Длина волны X. Фазовая скорость равна Х/Т= = co/fc=A,v. Каждая точка
струны повторяет в более поздний момент времени гармоническое движение
точки 2=0.
153
сосредоточенными параметрами. Весьма общие результаты можно получить,
рассмотрев уже знакомую нам систему связанных маятников. Мы будем искать
дисперсионное соотношение для бесконечной линейной последовательности
