Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
имеем
dp РоУд
dV V2 '
В состоянии равновесия, когда V=V0, получим
v-{w), = -p'- (35)
Подставляя это выражение в формулу (33), получаем результат
Ньютона-.
^Ньютона = l/^TT • ^
~ Ро
Для нормальных условий имеем
р0 = \атм= 1,01 • 10е дин/см2,
29 г/моль , пг, , г, гг\~\
Рп = ыг4-;-----=1,29-10 3гсм3, (37)
22,4 л/моль ' ' ' v '
и численное значение скорости звука, найденное Ньютоном, равно
_ 1/ =2,80- \0* см/сек -2&Q м/сек. (38)
'-'Ньютона - г I,zy*lU '
Полученное экспериментально значение скорости (которое вы должны помнить)
для нормальных условий равно
v = 332 м1 сек. (39)
[Вспомните обычный способ расчета расстояния до вспышки молнии по
количеству секунд, разделяющих вспышку и гром. В этой оценке "три
километра примерно равны 10 секундам".]
Исправление ошибки Ньютона. Теперь возникает законный вопрос: что не
верно в выводе Ньютона, который дает результат, отличающийся на 15% от
действительного? Оказывается, что все дело в законе Бойля - Мариотта,
который справедлив только при постоянной температуре. Температура в
звуковой волне не остается постоянной. В такой волне, как мы уже
говорили, существуют области сжатия и разрежения. В областях сжатия
температура чуть-чуть выше, чем в областях разрежения (энергия
сохраняется, так как избыток энергии при сжатии компенсирует уменьшение
энергии при разрежении). При сжатии давление увеличивается из-за
возрастания
159
температуры и становится больше, чем предсказываемое законом Бойля -
Мариотта, а при разрежении, наоборот, меньше. Это явление приводит к
большему значению возвращающей силы, чем то, которое ожидалось, и поэтому
фазовая скорость возрастает.
Вместо закона Бойля - Мариотта (который справедлив для постоянной
температуры) нам следует применить адиабатический газовый закон, который
дает соотношение между р и V при отсутствии теплообмена. (Тепло не
успевает переместиться из области сжатия в область разрежения, и
температура не может выравняться. Прежде чем такой поток возникнет, уже
пройдет половина цикла и в области сжатия возникнет разрежение. Таким
образом, можно представить себе условно, что области сжатия и разрежения
разделены стенкой, которая не дает теплу перетекать из данной области в
смежные.)
Адиабатический закон для газа имеет вид
pVv =p0l/o, p = p0vlv~v, (40)
где у ¦-постоянная, называемая отношением удельной теплоемкости при
постоянном давлении к удельной теплоемкости при постоянном объеме. Она
равна у =1,40 для воздуха при нормальных условиях. Дифференцируя
выражение (40) и полагая V=Fo, получим
Подставляя это выражение в (33), получаем правильный результат для
скорости звука:
f3B= |/"^ = К1.40 t-ньютона =332 м/сек. (41)
Рассмотрим подробнее, почему тепловой поток не успевает выравнять
температуры в смежных областях сжатия и разрежения. Чтобы это
выравнивание имело место, необходимо, чтобы тепловой поток проходил
расстояние в полдлины волны (от области сжатия к разрежению) за время,
меньшее половины периода колебаний (после половины периода области сжатия
и разрежения меняются местами). Таким образом, тепло будет течь
достаточно быстро при выполнении неравенства
> W = (42а)
/ 21
где vn - скорость теплового потока.
Известно, однако, что поток тепла возникает главным образом
потому, что молекулы передают друг другу кинетическую энергию
поступательного движения посредством столкновений. Для молекулы воздуха с
массой М при абсолютной температуре воздуха Т среднеквадратичное значение
тепловой скорости (скорость поступательного движения, обусловленная
тепловой энергией) в направлении г равно ___
fcp.KB = <^>V'= Y4i- (42б>
160
Здесь k-постоянная Больцмана. Скорость звука также можно выразить через Т
и М:
Yf.-YW- <42в>
Таким образом, с точностью до VУ скорость звука равна среднеквадратичной
тепловой скорости молекул в направлении г. Если бы молекулы двигались по
прямым, смещаясь на расстояния порядка к/2 до столкновения, то они "как
раз успевали бы" переносить тепло. Молекулы в среднем не удовлетворяют
условию (42а), но для некоторых очень быстрых молекул оно будет
справедливо. Таким образом, за один полупериод могло бы быть передано
заметное количество тепла. В действительности молекулы не смещаются по
прямой на расстояние порядка к/2. Они совершают хаотическое движение,
которое имеет случайный характер. При нормальных условиях молекулы
воздуха между двумя столкновениями проходят расстояния порядка 10-5 см.
Поэтому для всех длин волн больших, чем 10_6 см, адиабатический закон
является очень хорошим приближением. [Самая короткая длина еще ощутимой
нашим ухом звуковой волны соответствует частоте v"20000 гц, т. е.
k=v/vm3,32 • 104/(2 • 104) = = 1,6 СМ. ]
П р и м е р 3. Электромагнитные волны в ионосфере Земли и фазовые
скорости, превышающие скорость света с. Дисперсионное соотношение для
электромагнитных волн в ионосфере имеет (приближенно) следующий вид:
со2 = со l + c*k\ (43)
где с- скорость света, a ap=2nvp- круговая частота колебаний плазмы. Для
