Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
3.30. Связанные маятники. Рассмотрим линейную последовательность
связанных маятников, на которые в точке 2=0 действует вынуждающая
периодическая сила. Ее частота меньше граничной частоты. В точке z=L
система прикреплена к твердой стене, как показано на рис. 3.11. Покажите,
что если в 2=0 ф (г,/) равно А0 coscot, то ф (z,t)=A (г) coscot, где
\e~v-z-g-xi5--/. (I-г)]
А (г) = Л<Л---------------------
1-
Обратите внимание на то, что для это выражение просто равно Aae~*z.
3.31. Резонанс в системе связанных маятников. Прочтите рассуждения,
следующие за уравнением (90). Найдите резонансные значения ш2 следующим
образом.
а) Покажите, что при резонансе имеет место равенство
k ctg kL = -к,
из которого следует, что резонансные значения Q=kL должны лежать во II
квадранте (90ч-810°), IV квадранте (270ч-360°), VI, VIII и т. п.
квадрантах.
б) Будем измерять возвращающую силу, приходящуюся на единицу смещения и
на единицу массы (т. е. со2), в единицах Ka2/ML2. Обозначим glli-co\,
gHz=a\. Покажите, что резонансные значения ш2 можно получить, построив
график двух функций
С02= COj-j- 0а, со2=Ю2 - 02ctg20
относительно 0.
Резонансы определяются половиной точек пересечения двух кривых. Почему
только половиной? (Замечание. Обратите внимание на то, что со2, col и Шг
безразмерны в приведенных выше выражениях, т. е. что они даны в единицах
Ка2/ML2.) Постройте график распределения резонансных частот. Что
происходит при очень высоких частотах?
3.32. Полное отражение видимого света от посеребренного зеркала.
Предположим, что валентный электрон атома серебра становится "свободным"
электроном в твердом куске серебра. Посмотрите (в справочниках по химии и
физике), чему
146
равны валентность, атомный вес и плотность серебра. Найдите число
свободных электронов в единице объема твердого серебра. Предположим, что
дисперсионное соотношение для света в серебре имеет такой же вид, как и
для света (или другого электромагнитного излучения) в ионосфере, т. е.
ю2 = ю| + c2k2, если Ю2 Юр"
ю2 = ю'р - с2и2, если ю2<ю|,>
где Юр=4лЛ'е2, т, а е и т - заряд и масса электрона.
а) Вычислите критическую частоту \р для твердого серебра. Покажите, что
частота v для видимого света меньше критической граничной частоты.
Поэтому следует ожидать, что достаточно толстый слой серебра обеспечит
полное отражение нормально падающего видимого света. Эго и происходит в
случае посеребренного зеркала.
б) Вычислите среднюю глубину проникновения б для красного света (длина
волны в вакууме 0,65- 10-4 см) и для голубого света (длина волны в
вакууме 0,45- 10~iCAt). Полупосеребренное зеркало представляет собой
пластинку стекла, на которую нанесен слой серебра с толщиной, меньшей
глубины проникновения, так что примерно около половины свега проходит
через зеркало (т. е. отражение не полное). Предположим, что вы смотрите
через полупосеребренное зеркало на "белую" лампу. ("Белый" свет в
действительности содержит все видимые цвета.) Будет ли пропущенный свет
белым? Будет ли он иметь голубой или красный оттенок? Что можно сказать
про отраженный свет?
в) Какой толщины должен быть слой серебра, чтобы интенсивность
голубого цвета (интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды)
уменьшилась в 100 раз на задней поверхности слоя серебра? Такое зеркало
должно отражать 99% падающего света. (В действительности для видимого
света отражение близко к 95%. Мы пренебрегли потерями энергии, связанными
с активным сопротивлением серебра. Кроме того, поверхность серебра может
тускнеть из-за образования окиси серебра, свойства которой отличны от
свойств металлического серебра.)
г) Для каких частот слой серебра становится прозрачным? (Укажите
соответствующую длину волны в вакууме. Излучение такой частоты называется
"ультрафиолетовым" светом.)
3.33. Опыт. Пилообразные стоячие волны в мелкой воде. Такие волны были
рассмотрены в задаче 2.31. Здесь мы хотим узнать, как возбудить самую
низкую пилообразную моду в сосуде с водой. Самая низкая мода - это мода
"омывания"; она состоит только из половинки зубца. Поверхность воды
плоская, и длина сосуда равна половине длины волны. Следующая
пилообразная мода будет иметь один полный зубец, т. е. длина сосуда будет
равна одной длине волны (первой фурье-компоненты пилообразного зубца).
Эта мода не возбуждается, когда вы толкаете сосуд туда и обратно.
Объясните, почему. Третья мода состоит из 1,5 зубца, т. е. из трех
плоских участков. Таким образом, длина сосуда соответствует трем
половинам длины волны. Попробуйте возбудить эту моду, слегка потряхивая
г( суд. Убедившись в том, что эта мода возбуждена, наблюдайте свободные
коле-Спшя. После некоторой практики вы сможете легко возбуждать и
опознавать Si у моду. Приведем более надежный способ. Достаньте метроном
или сделайте i о сами, воспользовавшись маятником, который производит
звук, ударяя по %маге или еще чему-либо. Установив метроном на
определенную частоту, покачивайте сосуд в такт с метрономом до тех пор,
