Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
3.21. Рассмотрим дисперсионное соотношение для связанных маятников
(уравнения (98), (103) и (106)). Положим, что аД<^ 1 и ajб<^1, В этом
случае
А -А - Л п д:2-)-1 ' д ж2+1 '
где
144
непрерывное приближение будет достаточно хорошим. (Почему?) Разложите
дисперсионное соотношение в ряд Тейлора и оставьте первый член
разложения. Сравните результат с тем, который был получен для
непрерывного приближения, п. 3.5.
3.22. Бесконечные переходные биения (см. п. 3.2). Покажите, что
переходные колебания осциллятора с нулевым затуханием имеют вид
"амплитудно-модули-рованных почти гармонических колебаний", т. е.
подтвердите уравнение (43).
• Покажите, что в случае нулевого затухания и совпадения частоты
вынуждающей силы с резонансной частотой модулированная амплитуда линейно
растет со временем [уравнение (45)].
3.23. Опыт. Экспоненциальное проникновение волн в реактивную область.
Соберите систему из маятников и "пружин", показанную на рис. 3.12.
Воздействуйте на один конец системы с помощью вращающегося проигрывателя.
Выберите длины маятников так, чтобы частота 78 об/мин была больше верхней
граничной частоты, частота 45 об/мин лежала бы в полосе пропускания, а
частота 33 об/мин (и 16 об/мин) была меньше нижней граничной частоты.
Если вы придумаете быстрый и легкий способ одновременно менять длину всех
маятников, то сможете непрерывно изменять (а тем самым и все резонансные
частоты), сохраняя частоту внешнего воздействия постоянной, и искать
резонансы.
3.24. Переходные биения. Получите уравнение (46), которое определяет
зависимость от времени энергии, запасенной осциллятором, находящимся под
внешним воздействием. В момент t=0 энергия равна нулю. Считайте, что
затухание мало. Пусть частота внешнего воздействия близка (но не точно
равна) к tOj. Там, где это возможно, положите to/to^l. (Например, в
выражении типа costo/- -cos tOjt нельзя положить w=(Uj, поскольку, какой
бы малой ни была разница между ю и tOj, она в конечном счете приведет к
большим эффектам, т. е. к большим сдвигам фазы.)
3.25. Покажите, что решение для осциллятора с большим затуханием
[уравнение (9), п. 3.2] следует из решения (7) и формулы (8). (Указание.
Докажите тождества cos ix=chx, sin ix=i sh x; воспользуйтесь ими.)
3.26. Критическое затухание. Исходя из решения для свободных колебаний с
затуханием [уравнение (7)], покажите, что для критического затухания
решение имеет вид
(/)= е-'/,г< jXi (0)+ (0)+i. rjti (0) / J
Покажите, что такой же результат получится, если исходить из решения для
осциллятора с большим затуханием [уравнение (9)].
3.27. Опыт. Ширина резонанса для картонной трубки. Прочитайте абзацы,
следующие за формулой (28). Для самой низкой нормальной моды колебаний
звуковых волн в трубке, открытой с обоих концов, длина трубки практически
равна половине длины волны. (В действительности, благодаря краевым
эффектам, длина трубки меньше половины длины волны приблизительно на один
диаметр трубки.) Скорость звука около 330 м/сек. Если вы работаете с
камертоном С523, то громче всего будет резонировать трубка, длина которой
близка к 32 см.
а) Проверьте это утверждение. Резонансная частота v0 для трубки с длиной
L равна
__ 523 ю0
V° (L/L0) 2л '
где Lo<^32 см (L0 не равно точно 32 см в связи со сказанным выше).
б) Проверьте эту формулу. Теперь нарежьте 5 или 6 трубок со значениями L,
специально выбранными так, чтобы "покрыть" резонансный пнк и две точки
половинной мощности с каждой стороны пика. Следует считать, что
интенсивность звука / будет иметь "резонансную форму"
, (У"Г)"
(co0-co)3 + (V2iy '
Здесь величина I нормирована так, чтобы /=1,0, при со=со0. В нашем опыте
частота внешнего воздействия ш определяется частотой камертона и поэтому
145
постоянна. Резонансная частота изменяется с изменением длины трубки. Вы
должны найти длину трубки L0, отвечающую резонансу (легче всего это
сделать на слух, ударяя по трубке и сравнивая слышимый звук со звуком
камертона). После этого следует найти две длины трубок, соответствующие
точкам половинной мощности. Таким образом вы сможете оценить ширину
резонанса, т. е. величину Г, а следовательно, и время затухания
колебаний. Основная трудность в этом опыте - придумать способ, с помощью
которого можно оценить двукратное уменьшение интенсивности звука.
3.28. Два связанных маятника как механический полосовой фильтр.
Рассмотрите систему, показанную на рис. 3.3 и описанную в п. 3.3.
Пренебрегая затуханием, покажите, что
IV
' 2М
¦ ISL ' 2 М
° cos at <[ ----------------г
со)-
-Ч-
- W2 )
cos cot / 1 "-------------Г~\
(COj- ю- ш2- со2)
Фа ^ <Д2- Mi
Фа CD2 Т(r)1 - 2со3
где сох и co2 - соответственно меньшая и большая частота двух мод, а со -
частота внешнего воздействия.
3.29. Электрический полосовой фильтр. Рассмотрите фильтр, показанный на
рис. 3.8. Найдите дифференциальные уравнения для /а и /щ Покажите, что
нормальные координаты равны /а+/ь и 1 а-/& и что моды колебаний
определяются уравнениями (59).
