Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
возмущающей силы почти эквивалентно изменению частоты возмущающего
воздействия при постоянных (о? и ajj. Для данных длин нитей измерьте
частоты обеих мод (при отсоединенном жгуте). Затем подсоедините маятники
к диску, вращающемуся со скоростью 45 об/мин, и возбудите продольные
колебания "пружины". Легко заметить, что продольные и поперечные моды
имеют одинаковые наборы частот. Это может создать помехи для опыта,
особенно вблизи резонанса, но наблюдать такие помехи поучительно. Имеется
пять представляющих особый интерес частот. Это две резонансные частоты,
частота, лежащая посередине между ними, и области частот значительно
больших, чем резонансные, и значительно меньших. Вспомните характеристики
фильтра выше и ниже граничной частоты. Изучите и поймите фазовые
соотношения. При отсутствии затухания переходные биения могут длиться
очень долго. Лучше всего внести затухание, заставив нити тереться обо
что-либо. Вероятно, наблюдение резонансных кривых потребует много
времени. (Можете это не делать, если вы выполнили опыт 3.7.) Вместо этого
измерьте времена затухания для обеих мод и определите ожидаемую ширину
резонанса Г, используя соотношение Д\,т=1. Совпадает ли Еаш результат с
ситуацией, разобранной на рис. 3.4? Справедливы ли здесь уравнения для
механического фильтра (п. 3.4)?
Другой способ изменения частоты заключается, очевидно, в использовании
различных скоростей вращения диска, которые могут принимать значения 78,
45, 33 и 16 об!мин. К сожалению, скорость вращения диска нельзя менять
непрерывно.
3.9. Отбойный молоток бьет асфальт с частотой 20 гц. Рукоятка молотка
воздействует на руки рабочего с такой же частотой. Разработайте
низкочастотный фильтр и, соединив его с рукояткой, уменьшите амплитуду ее
вибраций в 10 раз. Один способ заключается в десятикратном увеличении
массы той части молотка, которая испытывает отдачу. Поскольку молоток и
без этого весит около 20 кГ, попытайтесь воспользоваться пружинами н
массами.
3.10. Докажите, что среднее во времени значение запасенной энергии для
установившихся колебаний определяется выражением (23).
3.11. Докажите, что точки половинной мощности для резонансной кривой в
установившемся режиме определяются выражениями (25) и (26).
143
3.12. Механический фильтр (см. п. 3.4). Весьма чувствительный прибор
находится на полу, совершающем вертикальные колебания с частотой около 20
гц. Вы хотите ослабить эти колебания в 100 раз и поэтому кладете прибор
на "подушку". Как низко опустится вершина "подушки", когда вы положите иа
нее прибор? (Указание. См. пример, следующий за уравнением (58), п. 3.4.
"Подушку" можно аппроксимировать идеальной, т. е. подчиняющейся закону
Гука, пружиной.)
Ответ. Около 6 см.
3.13. Покажите, что уравнение (31) дает точное решение уравнения (14) для
осциллятора, находящегося под внешним воздействием (в установившемся
режиме), когда коэффициент затухания Г равен нулю.
3.14. Покажите, что если маятники (рис. 3.10) соединены с помощью
"пружин", то они имеют такие же уравнения движения для поперечных
колебаний в горизонтальной плоскости, как и для показанного на рисунке
продольного движения.
3.15. Нарисуйте систему индуктивностей и емкостей, которая описывалась бы
уравнениями движения, аналогичными уравнению (62), и выведите уравнения
движения.
3.16. Опыт. Механический полосовой фильтр. Имея лишь два связанных
маятника, невозможно наблюдать экспоненциальный характер фильтрации, так
как через две точки может проходить любая кривая. Поместите между двумя
маятниками третий, чтобы получилась система, показанная на рис. 3.6 или
3.7. С помощью вращающегося диска проигрывателя воздействуйте на систему
с частотой, большей и меньшей частоты среза. Измерьте отношения фа/фь и
фв/фс. Равны ли они? Должны ли они быть равны?
3.17. Предположим, что у ионосферы существует резкая граница, где
граничная частота \р скачком возрастает от 0 до 20 Мгц. Найдите глубину
проникновения б для амплитуды радиоволн с частотой 1000 кгц.
Ответ. Около 2,5 м независимо от частоты, пока ю^ю^.
3.18. Напишите закон дисперсии для системы связанных индуктивностей и
емкостей, используя в качестве аналога систему связанных маятников. Нас
интересует закон дисперсии в полосе пропускания и в окрестности обеих
граничных частот.
3.19. Покажите, что если мы используем приближение слабого затухания и
находимся достаточно близко от резонанса, то амплитуда поглощения и
амплитуда дисперсии могут быть записаны (при соответствующем выборе
единиц) в следующем виде:
где х=(о>-ШоУ'/оГ.
3.20. Предположим, что имеем систему с двумя резонансами (на частотах tOj
и ы2), которые дают одинаковый вклад в амплитуду дисперсии некоторого
движущегося элемента. Для частоты ю, далекой как от к^, так и от о>2,
имеем
Покажите, что если со отличается от tOj и ю2 на величину значительно
большую, чем их разность ю2-сох, то Ая (в хорошем приближении) в два раза
больше любого из слагаемых. Иными словами, покажите, что
