Волны - Крауфорд Ф.
Скачать (прямая ссылка):
при условии, что начальные условия я (0) их (0) для суперпозиции
определяются суммой начальных условий, т. е. х (0)=^ (0)+*а (0) и х
(0)=*! (0)+*2 (0).
3.4. С помощью подстановки покажите, что уравнения (15), (16) и (17)
определяют решение уравнения (14).
3.5. Опыт. Установление биений (переходные биения). Для этого и некоторых
последующих опытов понадобится проигрыватель, вращающийся диск которого
используется для периодического воздействия на маятник. В качестве гири
маятника можно взять любой груз, например банку консервов. Удобно
работать с диском, вращающимся со скоростью 45 об/мин. (Чему равна
соответствующая этому числу оборотов длина нити маятника?) Укрепите на
диске проигрывателя легкую картонную коробку, а к коробке прикрепите
карандаш в вертикальном положении. Наденьте на карандаш веревочную петлю,
к петле привяжите конец 2-3-метрового резинового жгута. Другой конец
жгута прикрепите к нити маятника. Измерьте с помощью часов с секундной
стрелкой частоту свободных колебаний маятника. Измерьте частоту биений,
когда на маятник действует вынуждающая сила со стороны вращающегося
диска. Сделайте это для различных длин маятника.
Введите в систему затухания, заставив тереться обо что-либо нить
маятника. (Можно использовать щель между двумя предметами, например
книгами.) Большая длина резинового жгута взята для того, чтобы ослабить
его действие как пружины. Лучше всего привязать резиновый жгут к нити
маятника вблизи точки подвеса, так чтобы амплитуда движения нити в этой
точке была значительно меньше амплитуды движения карандаша (на вертушке),
даже для больших амплитуд маятника. Это обеспечит независимость
возмущающей силы от амплитуды движения маятника.
3.6. Докажите справедливость выражения (22) для потерь мощности на
трение. Докажите, что эти потери равны входной мощности [выражение (21)].
3.7. Опыт. Резонанс в "пружине" с затуханием. Растяните "пружину"
примерно на 2,5 м и закрепите концы. Один конец должен быть закреплен
так, чтобы его можно было легко освободить и закрепить снова после
изменения числа витков между закрепленными концами. (Мы можем таким
образом менять натяжение "пружины", не меняя ее длины.) Будем действовать
на "пружину" с помощью вращающегося диска проигрывателя, соединенного с
нею длинным резиновым жгутом (см. опыт 3.5). Пусть скорость вращения
диска равна 45 об/мин. Измерьте частоту свободных колебаний "пружины".
Эту частоту можно изменять, меняя число витков между закрепленными
концами (см. опыт. 2.1). Измерьте среднее время затухания т. Увеличьте
затухание, натянув вдоль "пружины" длинную ленту, так, чтобы в результате
получить время затухания в пределах от 10 до 20 сек. Постройте
резонансную кривую, т. е. график зависимости | А |2 от со0 при
фиксированном ш, равном 45 об/мин. Наблюдайте за фазовыми соотношениями и
убедитесь в том, что вы их понимаете. Величину \А\ можно измерить с
помощью источника света, дающего резкую тень (точечный источник света).
Определите
142
положения тени (на полу илн стене) от кусочка ленты, прикрепленного к
"пружине". Вычислите ожидаемую ширину резонансной кривой на уровне
половины максимума. (Вы можете изменить время затухания, если резонанс
получается слишком узким или слишком велико время исчезновения переходных
биений.)
Возможные источники трудностей. Если резиновый жгут, соединяющий один
конец "пружины" и карандаш на диске проигрывателя, полностью
расслабляется в одном из положений диска и затем резко натягивается, то
сила, действующая со стороны резинового жгута (вспомните о фурье-
аналнзе), будет содержать гармоники частоты 45 об/мин, а не только эту
частоту. Соответственно будут возбуждаться гармоники "пружины". Это
затруднение весьма интересно и поучительно. Другая трудность. Тряхните
резиновый жгут и наблюдайте за его колебаниями. Убедитесь в том, что
частота его колебаний гораздо больше 45 об/мин. В противном случае в
нашем опыте возникнут неожиданные препятствия. Вы можете столкнуться и с
другими проблемами. Интересно заметить исчезновение дисперсионной
амплитуды и появление амплитуды поглощения вблизи резонанса. Для этого
нужно наблюдать за относительной фазой диска (т. е. за карандашом) и
"пружины". Чему равно произведение полной резонансной ширины на среднее
время затухания? Согласуется ли ваш результат (если принять во внимание
ошибки опыта) с уравнением (28)?
3.8. Опыт. Вынужденные колебания системы из двух связанных маятников.
Система показана на рис. 3.3, а соответствующая теория разобрана в пп.
3.3 и
3.4. Нити, на которых подвешены грузы, можно наматывать на горизонтально
расположенную палку. Это дает возможность менять частоты маятников. Палки
могут быть закреплены на столе, книжном шкафу или другим образом. Нужно
иметь возможность менять длину веревок в пределах 30-^70 см. Меняя длину
нитей, вы меняете со^ и таким образом, что их разность остается
постоянной. Поэтому изменение длины нити при постоянной частоте
