Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
г=1
(ai ? В) с целыми коэффициентами ш, одного знака (т. е. или при всех i mi
^ 0, или при всех г тг ^ 0). Оказывается, для всякой системы корней базис
всегда существует. Полезно ввести максимальный корень
обладающий тем свойством, что для любого корня Qiai справедливы
неравенства р\ ^ q\,... ,рп ^ qn-
Ввиду (4.4) и (4.5) система n+1 векторов В* = {"i,..., ап, -а*}
удовлетворяет условиям а) и б), сформулированным выше (в начале п. 2).
Классификация "пополненных" систем простых корней В* использует графы
Кокстера: каждый вектор изображается точкой на плоскости, причем точки,
отвечающие векторам а и 0, соединены 4 cos2 (р ребрами, где <р - угол
между а и (3. Так как -у-
же является целым числом, не превосходящим 4. Связный граф Кокстера
пополненной системы простых корней изоморфен одному из графов,
изображенных на рис. 35.
Граф Кокстера не дает информации о соотношениях длин векторов. Поэтому
обычно рассматривают "оснащенный" граф Кокстера (называемый схемой
Дынкина): каждой вершине приписывается коэффициент, пропорциональный
квадрату длины соответствующего вектора из В*. Оказывается, "оснащение"
указанных выше графов Кокстера восстанавливается однозначно.
Полная интегрируемость обобщенных цепочек Тоды в случае, когда щ, ...,
ап+\ принадлежат пополненным системам простых корней, установлена в
работе [180]. В [176] этот результат обобщен на системы векторов,
удовлетворяющих условиям а) и б) п. 2. Классификация таких систем
представляет родственную, но более сложную задачу
(см., например, [202]). Их графы Кокс- 113 2 3 1
тера те же самые, однако схемы Дын- ОашО-о ожо-о
кина более разнообразны. Так, например, графу G2 отвечают две различ-
Рис. 36
ные схемы (см. рис. 36).
Теорема 2 [104]. Рассмотрим полную цепочку Тоды с числом Ковалевской k =
n-(-1. При п у 2 схема Дынкина системы
векторов о 1...."д- ? R" изоморфна одной из схем, изображенных
на рис. 37.
(4.5)
2(0, а) И (0,0)
(а, а)
целые числа, то их произведение (равное 4 cos2 <р), так-
350
§ 4- Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды
,/S-,
О-0"*0-о
1 1
0 О
\f 1 1 I
О-О-"О-Of
1 I
о 1 , Of
1
о-
1 1 1 -о-о-о-
I
О f
1
-о
1 1 f 1 1
о-О-О-о-о-
0/ 6
111 -О-О-о
I
О 1
1 1 1 0-0-0= е
2 2 -.о-о
Ь 2 2 2А
о-0---0-о;
I \
1 1 3
О-О его
1
О-
12 2 2 -0=0-о-О
3 3 1
ОштО-о
м
Рис. 37
Доказательство основано на результатах, изложенных в [202, до-
\ п л+1
бавление]. Гамильтониан Н - - у] + ^ exp(as,х) отвечает
^ *=1 ' *=1
"неполной" цепочке с максимальным числом Ковалевской. "Полные" диаграммы
Дынкина а)-м) получены из диаграммы работы [177] с учетом возможности
добавления векторов вида as/2.
3. Перейдем к доказательству теоремы 1. Проверим сначала необходимость
условий теоремы. Пусть y(t), x(t) -решение вида
(4.2). Запишем уравнения Гамильтона в явном виде:
N
х = у, у
= - ^ V[aiexp(at, х).
(4.6)
1=1
где Ь!
Из первого уравнения находим
ж = Ъ. мТ~м/{1 - А1) + ... + Ь_! in t + b' + b0t + постоянная
интегрирования.
351
Глава VII. Ветвление решений
Функции ехр(а;,а;) должны быть формально мероморфными, поэтому bj = 0 при
всех j < - 1. Коэффициент 6^1 отличен от нуля (иначе решение будет
голоморфным). В силу равенства
ехр(а/, х) = ехр(а/, 6' + bot + ...)
все величины (ai,b_\), I = 1 являются целыми числами.
Второе уравнение (4.6) принимает вид
N
-6_1?~2+61+262?+ ... = -ехр(а(, b'+b0t+ ...). (4.7)
(=1
Лемма 1. Пусть m = min(a;,6_i). Тогда
1) если (aj,b-1) = тп, то j ^п+1;
2) (as, b_i) > 0 при некотором s ^ п + 1;
3) m - -2.
Доказательство. 1. Если (ay,b_ i) = m при j > ?г+ 1, то в силу условия
(ii) существует такой вектор аа (s ^ n + 1), что
а., = uaj, u > 1; следовательно, (as,6_i) < m.
2. Пусть для всех / (1 I ^ n + 1) выполнено (a(,6_i) < < 0. Умножим
равенство YlPjaj - 0 скалярно на 6_i- Получим ^2pj(aj,b-1) = 0, что
противоречит положительности величин р;.
.3. Так как ?>_i ^ 0, то в силу равенства (4.7) m ^ -2. Пусть векторы Oj-
j, ..., о,- таковы, что (ay#, b_i) = m (s = 1,..., р), (о;, 6_i) > > m (/
? {;'i,...,JM}). В силу 1), 2) имеем j, ^ n + 1, p < n + 1.
Таким образом, можно считать, что j, = s, s = 1,...,р. Пусть
м
m < -2. Тогда из уравнения (4.7) получаем ajVj ехр(6', ау) = 0.
j'=i
В силу свойства (i) это равенство может выполняться лишь в случае р = n +
1; следовательно, m ^ -2. Итак, m = -2, и лемма 1 полностью доказана.
Пусть (р < n+ 1) - такие векторы, что (a\,b-\) =
= ... = (ад, Ь-\) = -2, (а;, 6_i) > -2 (I > р). Пусть множество W = =
{ci,...,c"} С {ai,..., адг} таково, что (щ ,?>_;) = ...= (cy,?>_i) = - -
1, и для всех ay ? W имеем (ay, 6_j) ф - 1.
Лемма 2. Яри сделанных предположениях п <С р и c:j -
= %)/2>i = Т ^0') ^ м-
Доказательство. В силу (4.7) выполняется равенство
0 = ajVj(aj,b0) exр(Ь/, ay) + ^ сут) ехр(6',су),
y=i
352
§ 4¦ Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды
где v'j - коэффициенты при exp(cj, х) в (4.1). Так как любой вектор с"
параллелен какому-нибудь вектору a;, I G {1,..., п + 1}, то
