Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
точках щ,.., , а"-ц. Вычеты вектор-функции / в этих точках, очевидно,
линейно независимы. Следовательно, т - п- 1.
§ 3. Интегралы и группы симметрий квазиоднородных систем дифференциальных
уравнений
1. Напомним (см. § 9 гл. II), что система дифференциальных уравнений
Zi = Vi{z\,...,zn) (3.1)
называется квазиоднородной с показателями квазиоднородности 91, • •• ,9п
ф 0, если
vi(a9lz1,...,a9"zn) = a9i+1Vj(zi,..., zn) (3.2)
при всех значениях z и а > 0.
Уравнения движения многих важных задач динамики имеют квазиоднородную
форму. Примерами могут служить задача многих гравитирующих частиц, задача
о вращении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, а также
задача Кирхгофа о движении твердого тела в неограниченной идеальной
жидкости.
Дифференцируя тождество (3.2) по а и полагая затем а = 1, придем к
формуле Эйлера
И Q
^9з2зЪ7 = ^9i + l^Vi' (3,3')
3=1 3
Уравнения (3.1) имеют частные решения
Zi = с,-Г(r), 1 Ф i <: 71, (3.4)
при этом постоянные коэффициенты с, удовлетворяют алгебраической
системе уравнений ty(ci,... ,сп) = - <7,-с,- (1 ф г
ф п). Как
правило, эта система имеет нетривиальные решения.
338
§ 3. Интегралы и группы симметрий
Выпишем уравнения в вариациях для частного решения (3.4):
Дифференцируя тождество (3.2) по Zj, получим равенство
Подставляя а = 1/1 в (3.6), перепишем уравнения (3.5) в виде
где р - собственное значение, a tp - собственный вектор матрицы
Матрица К называется матрицей Ковалевской, а ее собственные значения -
показателями Ковалевской. Если общее решение системы (3.1) представляется
однозначными (мероморфными) функциями комплексного времени, то показатели
Ковалевской являются целыми (соответственно целыми неотрицательными)
числами (см. п. 5 § 9 гл. II).
2. В работе X. Иошиды [236] рассмотрена задача о наличии ква-
зиоднородных интегралов системы (3.1). Напомним, что /(z) называется
квазиоднородной функцией степени т с показателями квазиоднородности
<71,... ,дп, если
Например, функции Tj(z)/zi- квазиоднородные степени 1.
Теорема 1 [236]. Пусть f - квазиоднородный интеграл степени m системы
(3.1) и df(c\..... сп) ф 0. Тогда р - m - показатель Ковалевской.
Этот результат устанавливает замечательную связь между свойством
мероморфности общего решения и наличием непостоянных интегралов. Отметим,
что если система (3.1) имеет еще один квазиоднородный ин теграл g той же
степени т, причем дифференциалы df и dg линейно независимы в точке z = с,
то р = т - множитель Ковалевской кратности ^ 2.
Л
(3.5)
-^-(a9izi,...,OL9*zn) = a9' 9j+l~(zu... ,z"). (3.6)
П
(3.7)
f(a9lzu...,a9nzn) = amf(zu ... ,zm).
(3.8)
339
Глава VII. Ветвление решений
Доказательство теоремы 1. Так как / - интеграл уравнений (3.1), то У --
(с?~9)?,-- интеграл уравнений в вариаци-
U Zi
ях (3.7) (ср. с § 8 гл. IV). Полагая в (3.8) а = t~l и дифференцируя
затем по z,-, получаем соотношения
^ /
Следовательно, --(c)?it9i~m = const. Продифференцируем это
тождество по t и воспользуемся уравнениями (3.7). Получим соотношения
у- 2f_,c)(?L7 m)fr + у' Ё1(с)^1(с) Ь = о
^ дг, tm-9J+1 ^ аг7- Дг,-
j J 3
Пусть ?,• = <fitp~9i-решение уравнений в вариациях. Тогда
((К - тЕ)Т ^у(с), V?) = 0.
Это равенство справедливо для всех собственных векторов матрицы
Ковалевской К. Среди этих векторов имеется п линейно
^ /¦
независимых, поэтому (К - тЕ)т -- (с) = 0.
Теорема 1 доказана.
3. Рассмотрим другую автономную систему дифференциальных уравнений:
= Ui(zi,...,zn), (3.9)
Предположим, что правые части удовлетворяют соотношениям Uj(a9'zi,...,
a9nzn) = a9J+mUj(zi,..., г"), другими словами, Uj(z)/zj - квазиоднородные
функции степени m с теми же показателями квазиоднородности д\,.. ¦ ,дп-
Ясно, что система (3.9) инвариантна при подстановках г, -+ а9'г,, т -+
ашт.
Функции Ui удовлетворяют тождествам, аналогичным (3.3):
? gjZj Ъ7 = (9i + ш^из' (ЗЛ0)
i=i 3
Векторное поле и является полем симметрий системы (3.1), если линейные
дифференциальные операторы
= -, Lu = ^2uj- (3.11)
340
§ 3. Интегралы и группы симметрий
коммутируют. Ясно, что система (3.1) всегда допускает тривиальное поле
симметрий (3v, /3 = const.
Теорема 2. Предположим, что система (3.1) допускает квазиоднородное поле
симметрий и степени тп, причем и(с) ф 0. Тогда р - -гп - показатель
Ковалевской.
Доказательство. Условие коммутирования операторов
(3.11) эквивалентно серии равенств
самое, (К + mE)u(c) = 0. Следовательно, и(с) ф 0 - собственный вектор
матрицы К с собственным значением р = -т. Теорема 2 доказана.
Следствие 1. Если с ф 0, то р - -показатель
Ковалевской.
Действительно, u = v есть квазиоднородное поле симметрий степени m = 1.
Остается заметить, что т,(с) = - и д, ф 0.
Этот же результат можно получить другим способом. Ввиду автономности
система (3.1) имеет семейство решений Zi(a) = сг(?-р + а)~9, (1 ^ г ^
п), где а - вещественный параметр. Производные
удовлетворяют уравнениям в вариациях (3.7). Следовательно, р = = -1-
собственное значение матрицы К с собственным вектором
