Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
(3.12)
Подставим в обе части вместо z решение (3.4). Тогда
Используя (3.6), преобразуем правую часть (3.12):
(j'V ¦
Следовательно, Y1 ~n~^{c)uj(c) + (5" + тп)щ(с) = 0, или, что то же j &zj
dzi(a)
ci3i
da <2=o
?" +1
(-ciffi, • ¦ •, -cngn)T ф 0.
341
Глава VII. Ветвление решений
Следствие 2. Пусть и - квазиоднородное поле симметрий степени 1, и
векторы v, и линейно независимы в точке z = с. Тогда р = - 1 -показатель
Ковалевской кратности ^ 2.
Теорема 2 устанавливает любопытную связь между условием однозначности
общего решения квазиоднородной системы и наличием нетривиальных полей
симметрий.
Рассмотрим подробнее случай, когда г, - многочлены по причем система
(3.1) квазиоднородна с натуральными показателями квазиоднородности Эти
условия заведомо выполняются, если Vi - многочлены второй степени по z\
здесь gt = 1. Пусть и-поле симметрий системы (3.1) с аналитическими
компонентами. После подстановки z, -+ aa,Zi система (3.1) перейдет в
систему z - av(z), а поле и - в поле amum{z), где um -
квазиоднородное векторное поле степени т. Если поля и и v коммутируют,
то, очевидно, все поля um (m ^ 1) являются полями симметрий системы
(3.1).
Следствие 3. Предположим, что среди показателей Ковалевской нет
отрицательных целых чисел, кроме числа р = - 1, которое является
однократным корнем характеристического уравнения det ||К - рЕ|| = 0.
Тогда система (3.1) не допускает такого поля симметрий и с аналитическими
компонентами, что векторы и{с) и v(c) линейно независимы.
4. Рассмотрим уравнения Гамильтона
с квазиоднородным гамильтонианом степени h:
H{a9ixl,ahy1,...,a9^xn,aI"yn,) = ahH{x,y). (3.14)
Здесь gk, fk - набор показателей квазиоднородности. Нетрудно убедиться в
том, что уравнения (3.13) будут квазиоднородными в смысле определения п.
1, если Д + <д. = h - 1 для всех к (к = = 1,...,п). В этом случае среди
показателей Ковалевской всегда будут числа pi = /) и рг = -1.
Предположим, что (3.13) допускает частные решения
хк = ЩГВк, Ук = ткГ!\ l^k^n, (3.15)
причем ТЛ\ик \ + Ы) Ф 0.
Теорема 3. Пусть Ф(х,у) -квазиоднородный интеграл степени m уравнений
(3.13), независимый от гамильтониана (3.14)
l^k^n, (3.13)
342
§ 3. Интегралы и группы симметрий
в точке (х, у) = (ы, v) : ранг матрицы Якоби функций Ни Ф равен двум.
Тогда р\ = in и р2 = h - тп - 1 -показатели Ковалевской.
Доказательство. Так какФ - квазиоднородный интеграл уравнений (3.13), то
р = m - показатель Ковалевской (теорема Иошиды). Гамильтонова система
уравнений
, дФ , ЭФ , ,
X' = SJ' Ш = ~Э^Г Р-16)
квазиоднородна степени m + 1 - fk - gk = m + 1 - h. Функции H и Ф
находятся в инволюции, поэтому гамильтоново поле (3.16) является полем
симметрий для системы (3.13). Функции Н и Ф независимы в точке (ж, у),
поэтому остается применить теорему 2.
Замечание. При m 7^ h условие независимости функций Н и Ф можно,
очевидно, заменить более слабым: <й> ф 0 при х = и, y = v.
Отметим, что сумма р\ + р2 = h - 1 не зависит от степени
квазиоднородности интеграла. Это не случайно: показатели Ковалевской для
квазиоднородных гамильтоновых систем разбиваются на пары, сумма которых
равна h - 1. Это утверждение является аналогом известной теоремы Пуанкаре
- Ляпунова о возвратности характеристического уравнения для
мультипликаторов периодического решения уравнений Г амильтона.
Доказательство основано на простом замечании о том, что уравнения в
вариациях (3.5) в рассматриваемом случае будут гамильтоновыми:
• ^ д2Н л д2Н
& = л л & + X, я я
dyidxk dyyJijk
д2Н , д2Н
(3.17)
dxidxk t-* дх{дук
Здесь в выражения для вторых производных гамильтониана Н надо подставить
формулы (3.15). Пусть (?, rj) и (?*, rf) - два решения уравнений (3.17).
Легко проверить, что сумма
~ CkVk) (3-18)
будет постоянной. Положим
4 = 4>kt9k~p\ У]к = ы!к~р\ С = т1^р\ 7)1 = Гк^Р2-
Тогда (3.18) примет вид Hk+9k~Pl~P2 ^(Тк'Ф^ТкФк) = 0. Эта сумма не
зависит от времени в двух случаях: 1) р\ + рг = fk + Як = h - 1;
2) выполнено соотношение
= °- (ЗЛ9)
343
Глава VII. Ветвление решений
В случае 2) векторы р = (<рь ... ,</?", ф\ ..., 0")т и р* = (<^,...,
tp*n, ф\ ..., V'n)7 косоортогональны, т. е. удовлетворяют (3.19).
Предположим, что вектор р косоортогонален всем собственным векторам
матрицы К. Поскольку эти векторы образуют базис в К2п, то р
косоортогонален всем векторам из М2л. Но тогда р = 0. Итак, всегда
найдется такой вектор р*, что сумма (3.19) отлична от нуля, что и
требовалось доказать.
Предположим, что степени квазиоднородности гамильтониана и
дополнительного интеграла являются целыми числами. Тогда среди
показателей Ковалевской появляется дополнительная пара целых чисел. Одно
из них - степень нового интеграла, а другое - взятая с обратным знаком
степень гамильтонова поля симметрий, порождаемого этим интегралом.
5. Для того чтобы лучше понять смысл теорем 1 и 2, перейдем к новой
независимой переменной т по формуле t = exp (гт). Тогда система (3.1)
будет иметь частное решение
Zj - cj ехр(-г<7ут), 1 < j ^ п. (3.20)
