Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
интересная задача об условиях существования у гамильтоновой системы х -
Н'у, у = -Н'х с функцией Гамильтона (4.1) к различных семейств формально
мероморфных решений вида
коэффициенты которых зависят от 2п - 1 "свободных" парамет-
(4.1)
(4.2)
"=-м
s=~Mt
Ь G Cn, А[ g С, h_M ф 0, М > 0,
346
§ 4- Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды
ров. Такая задача рассматривалась ранее в работе [182] для некоторых
типов цепочек на плоскости (п = 2 и k = 1), а также в работе [177] для
произвольного пик=я+1в предположении, что каждое из множеств F$ состоит
из единственного вектора as. Было установлено, что если уравнения
Гамильтона имеют достаточное количество различных семейств мероморфных
решений, то они допускают п независимых и полиномиальных по импульсам
интегралов и поэтому являются интегрирз'емыми по Лиувиллю. Обратное
утверждение не имеет смысла. Действительно, при п = = 1 каждая система
интегрируема по Лиувиллю, однако, как будет показано ниже, предположение
k ^ 1 налагает довольно жесткие ограничения на структуру множества
векторов ai,..., а^.
Теорема 1 [104]. Неравенство к ^ ко имеет место в том и только том
случае, когда существует такое множество индексов I С {1,2,..., п + 1},
card I = ко, что:
1) для любого индекса s € / множество F, \ {а"} либо пусто, либо содержит
единственный вектор а,/2:
2) для любых s и г (s € I, 1 ^ г ^ N, aT ? Fe) выполнены соотношения
2(а", аг)/(а,, аД € - Ъ+, Z+ = {0,1, 2,...}. (4-3)
Следствие. Имеет место неравенство к ^ n + 1.
Рассмотрим более подробно обобщенные цепочки Тоды с максимально возможным
числом Ковалевской k = 7i + 1. В этом случае условия 1) и 2) теоремы 1
принимают следующий вид:
1) для любого s (1 ^ s ^ п+ 1) множество Fs \ {аД либо пусто, либо
состоит из одного вектора а,/2;
2) для любых двух линейно независимых векторов ач и аг, 1 ^ ^ s ^ ti + 1,
выполняется соотношение (4.3).
Эти два свойства позволяют классифицировать обобщенные цепочки Тоды с k =
n+1. Цепочку назовем полной, если к гамильтониану (4.1) нельзя добавить
экспоненциальное слагаемое иехр(Ь,х), и ф 0, 6 ф aj (1 ^ j ^ N), не
нарушая условий (i)-(iii) из п. 1, а также условий 1), 2) теоремы 1.
Ясно, что любая обобщенная цепочка, для которой к = 71+1, получается из
некоторой полной цепочки, если отбросить часть векторов вида as/2, 1 ^ s
^ п + 1.
Пусть п = 1. Тогда, согласно теореме 1, набор векторов {аД полной
одномерной цепочки Тоды с максимальным числом Ковалевской к = 2 совпадает
с одним из трех множеств:
1) {-2щ -щщ2/Д; 2) {-щц,2/Д; 3) {-2щ-щ/Д,
347
Глава VII. Ветвление решений
где д-некоторое положительное число. Случаи 2) и 3) можно не различать,
так как после канонической замены х -> - х, у ~> - у соответствующие
гамильтонианы переходят друг в друга.
2. Теорема 1 позволяет перечислить в явном виде все обобщенные цепочки
Тоды с максимально возможным числом Ковалевской. Это перечисление, по
существу, сводится к классификации систем п + 1 векторов щ,. ..,a"+i в n-
мерном евклидовом пространстве, для которых
а) каждая собственная подсистема линейно независима и
71+1
Y, Psas - 0 (р., > 0);
.4=1
б) для любой пары векторов а, ф аг выполняется соотношение
(4.3).
В свою очередь, эта задача тесно связана с теорией корневых систем,
играющих важную роль в современной математике (конечные группы отражений
евклидовых пространств, полупростые алгебры Ли и т. д.; см., например,
[35]). Неожиданная связь между вполне интегрируемыми обобщенными
цепочками Тоды и корневыми системами, подмеченная впервые О. И.
Богоявленским [180], выглядит весьма таинственной.
В связи со сказанным уместно изложить основные идеи теории корневых
систем. Пусть V - n-мерное линейное пространство со скалярным
произведением (, ), и а - ненулевой вектор из V. Отражением относительно
вектора а называется ортогональное преобразование s пространства V,
удовлетворяющее следующим условиям:
1) s(a) - -а;
2) если s(x) = х, то (т,а) = 0, и наоборот.
Конечное множество S ненулевых векторов из V называется корневой
системой, если:
(i) S порождает К;
(и) для любого а ? S отражение sa (относительно а) переводит множество S
в себя;
(iii) для любых а,/3 G S -sa((3) - J3 = па (п е Z).
Элементы множества S - "корни" пространства V. Поскольку
(д?, ex')
sa(x) = х - 2y~-(ж ^ V), условие (iii) эквивалентно следую-
а)
щему (ср. с (4.3)):
2^4 GZ, a,peS. (4.4)
(а, а)
Подмножество В С S называется базисом (или системой простых корней),
если: 1) В - базис векторного пространства V\
348
§ 4- Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды
/°\
<*1 "г *п-1 "И
Вп(л ъЗ)
0
1
О-О ¦ • • 0=0
\агаз ""-г** о
сп(пъг) 0=0 О-"О 0=0
*1 *2 всп.гсс"-,ап
к1
о
<*п-1
о
?п(ггъ.э) о-о--*о-о ап-2
| ос2а3 a".3J
о оогп
о-о-о- о-о or, а3 [or* а5 ав
0*2
о-о-о-о-о-о-о а 1 ctj |or+ as *е a7 о аг
о-о-о-о-о-о-о-о а* аз \<Х+ <*3 ав ас? асе
о a z
о-о-о=с
ttf лг ОСу Ctjf
*1 *2
Рис. 35
349
Глава VII. Ветвление решений
П
2) все корни представимы в виде линейных комбинаций miai
