Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Козлов В.В. -> "Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике" -> 137

Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.

Козлов В.В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике — Ижевск, 1995. — 432 c.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка): simmetriitopologiiirezonansa1995.djvu
Предыдущая << 1 .. 131 132 133 134 135 136 < 137 > 138 139 140 141 142 143 .. 172 >> Следующая

В общем случае это решение условно-периодическое; показатели
квазиоднородности д\,..., дп играют роль постоянных частот. Обозначая
штрихом дифференцирование по т, перепишем уравнения в вариациях (3.7):
^ = (3-21) к
Эта линейная система приводима: линейная замена с условно-периодическими
коэффициентами сводит ее к системе с постоянными коэффициентами; в новых
координатах ц, = ^ ехр(г'б^т) она принимает вид
г/ = Штд, (3.22)
где К - матрица Ковалевской. Характеристические числа линейной системы
(3.22) равны, очевидно, ipi,..., грп, где pj - показатели Ковалевской.
Рассмотрим частный случай, когда система (3.1) однородна: д\ - ¦¦¦= дп ~
д- Тогда решение (3.20) - периодическое с периодом р = 2п/д. Его
мультипликаторы, как известно, равны exp[p(ipj)]. Если система (3.1)
допускает интеграл, не имеющий критических точек на траектории решения
(3.21), то хотя бы один из мультипликаторов равен единице. Это
утверждение - следствие результатов в § 8 гл. IV (правда, в § 8
рассматривались вещественные системы дифференциальных уравнений; однако
полученные там результаты справедливы, очевидно, и для систем с
комплексными переменными и вещественным временем). Пусть
344
§ 3. Интегралы и группы симметрий
s - степень однородного интеграла системы (3.1). Ввиду (3.8), его
"квазиоднородная" степень т равна sg. По теореме Иошиды, среди
показателей Ковалевской pj имеется число т = sg. Но тогда соответствующий
мультипликатор ехр(грт) равен единице. Итак, теорема Иошиды аналогична
теореме Пуанкаре о вырождении периодических решений систем
дифференциальных уравнений с интегралами без критических точек, но
теорема Иошиды содержит дополнительную информацию о степени
квазиоднородного интеграла. Аналогия распространяется и на случай
несоизмеримых показателей квазиоднородности #1,... ,дп (ср. с § 9 гл.
IV).
6. В качестве примера рассмотрим однородную систему трех
дифференциальных уравнений [236]:
Z\ = Z\ZlZ-i, z2 = e2z3Zi, Z3 = ?3ZiZ2, (3.23)
где - отличные от нуля вещественные постоянные. Такой вид имеют, в
частности, уравнения Эйлера динамики твердого тела.
В этом примере дх = д2 = д3 = \ . Следовательно, частные решения (3.23)
следует искать в виде Zk = c^/t (к = 1,2,3). Постоянные с*, удовлетворяют
системе алгебраических уравнений
?1С2С3 = -СЬ ?2С3С1 = -С2, ?'3С\С2 = -с3.
Очевидно, что
Cl = ±(г2?з)~1/2, С2 = ±(?3?i)~1/2, с3 = ±(?1?2)_1/2. (3.24)
Легко вычислить показатели Ковалевской: независимо от выбора знаков в
(3.24) характеристическое уравнение det \\К - рЕ\\ = О имеет тривиальный
корень р = - 1 и двукратный корень р = 2.
Последнее обстоятельство указывает на возможность наличия у уравнений
(3.23) двух независимых интегралов, квадратичных по
г. Действительно, функция
/ = (3-25)
является интегралом системы (3.23), причем среди критических точек этой
функции нет точек вида (3.24). Имеется два линейно независимых вектора
("1, а2, а3), удовлетворяющих второму уравнению (3.25), поэтому уравнения
(3.23) допускают два независимых квадратичных интеграла.
Аналогичные соображения можно использовать для поиска интегралов и групп
симметрий более сложных квазиоднородных систем. Однако такой подход не
всегда приводит к цели, поскольку теоремы 1 и 2 дают лишь необходимые
условия существования и, более того, содержат информацию лишь об
интегралах и полях симметрий с дополнительными свойствами в точках z = с.
345
Глава VII. Ветвление решений
§ 4. Числа Ковалевской обобщенных цепочек Тоды
1. В § 9 гл. II были введены числа Ковалевской: это - количество
различных "полных" семейств мероморфных решений аналитических систем
дифференциальных уравнений. Ниже числа Ковалевской будут найдены для
одного класса гамильтоновых систем, обобщающих цепочки Тоды. Будет
показано, что системы с максимально возможным числом Ковалевской вполне
интегрируемы. Этот любопытный результат аналогичен классическому
результату Ковалевской в динамике тяжелого твердого тела.
Рассмотрим гамильтоновы системы с гамильтонианом
Здесь vi € К, а\,..., адг - векторы из Rn, х = (xj,..., хп) -
канонические координаты, сопряженные с у - (уг, - ¦уп)', (, ) -
стандартное скалярное произведение в Rn. Системы такого вида часто
встречаются в приложениях (см. [20, 159]).
Систему с гамильтонианом (4.1) назовем обобщенной цепочкой Тоды, если
выполнены следующие условия:
(i) векторы щ,..., on+i таковы, что любые п из них линейно неза-
п+1
висимы, и Y1 Psas = 0, где все р., > 0;
.4=1
(ii) векторы ai,...,ajv так группируются в семейства F, (.s = = 1,..., п
+ 1), что каждый вектор aj из F" сонаправлен с аа, и
I I ^ I I!
(iii) vs ф 0 для всех s (s - 1,..., п + 1).
Сюда относятся обычные замкнутые цепочки Тоды и их интегрируемые
обобщения, найденные в работах [176, 180].
Отметим, что во всех проинтегрированных случаях импульсы у\,...,уп и
экспоненты ехр(щ, ж),..., ехр(а^,х) оказываются ме-роморфными функциями
комплексифицированного времени t. В связи с этим замечанием возникает
Предыдущая << 1 .. 131 132 133 134 135 136 < 137 > 138 139 140 141 142 143 .. 172 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed