Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
такая, что H(z,t, 0) = Ho(z). Рассмотрим гамильтонову систему
z = JH't, Н = HQ{z) + ?#i(z,t) + ... (1.9)
Пусть z = zq (z С2, Imzo = 0, - неподвижная гиперболическая точка
невозмущенной системы i = JHq, dHo(zo) = 0.
Собственные значения ±А линеаризованной системы имеют ненулевые
вещественные части (Re А > 0). Решение z(t) = zq можно считать
периодическим с периодом 27г. Согласно Пуанкаре, при достаточно малых |?|
система (1.9) имеет 27г-периодиче<:кое решение z = p(t,e), p(t,0) = z0.
Аналитически по t 6 С продолжим (возможно, неоднозначно) решения системы
(1.9), асимптотические к траектории p(t,s) при t -* -оо, на максимально
возможную область. При этом получим двумерную комплексную поверхность А",
которую назовем неустойчивой комплексной асимптотической поверхностью
гиперболического периодического решения p(t,e).
В гл. V было показано, что устойчивая и неустойчивая асимптотические
поверхности А)~ и А~ могут трансверсально пересекаться в действительной
области, и это приводит к отсутствию аналити-
33 3
Глава VII. Ветвление решений
ческого интеграла в К2 х (следовательно, и во всем С2 х Т^.). В данном
случае комплексная асимптотическая поверхность Л" (Л+), в отличие от
вещественной, может иметь трансверсальные самопересечения, которые также
препятствуют существованию у системы (1.9) голоморфного интеграла.
Приведем достаточное условие самопересечения. Пусть асимптотическое
решение г = za(t) ( lim za(t) = 20) невозмущенной сис-
Т-*-00
темы продолжается однозначно и аналитически вдоль замкнутого непрерывного
пути 7 : [0,1] -* С, 7(0) = 7(1) 6 Е С С. Тогда при достаточно малых |е|
решение z(t, to,e) возмущенной системы
(1.9) с начальным условием 2(7(0) + to,to,e) = za(j(0)) тоже аналитически
(но, вообще говоря, неоднозначно) продолжается вдоль "смещенного" пути 7
-f to. Пусть h(to,e) = H0(z(7(1) + t0),t0,s) - - Ho(za{y{0))) - shi (to)
+ o(e) - приращение функции Ho{z(t),t0,e) при обходе t вдоль 7 -f to-
Теорема 2 [63]. Если функция h 1 имеет простой нуль, то при достаточно
малых т| ^ 0 комплексная поверхность А~ имеет трансверсальное
самопересечение, и система (1.9) не имеет в М3 однозначного
аналитического первого интеграла.
Отметим, что величину hi(t0) можно вычислить по формуле
/д II f
-~(za(t),t+ to)dt = J {Ho, Hi}{za(t),t + to) dt.
В качестве иллюстрации рассмотрим задачу о колебании маятника, точка
подвеса которого совершает гармонические колебания малой амплитуды.
Гамильтониан имеет вид Н = Но + еН1, Но = = у2/2 -f cost, Н1 = cast cos
.т. Здесь (х,у) = z - симплектические координаты, ? - малый параметр.
Невозмущенная задача имеет неподвижную гиперболическую точку х = у = 0.
Асимптотически выходящее из нее решение
y = 2/chf, sin.T = - 2 sh tj ch2 t, cost = 1 - 2/ ch2 t
однозначно, мероморфно и имеет полюсы в точках а*. = г(тг/2 + -(- тт к ),
k ? IL.
Пусть 7 - замкнутый путь, обходящий полюс ао в положительном направлении.
С помощью вычетов легко установить, что /11 (to) = -47r?cos(7n'/2 ¦+ to).
Эта функция имеет простые нули, поэтому применима теорема 2.
Укажем еще статью [36], в которой тем же методом установлено отсутствие
голоморфных однозначных интегралов в задаче о плоских колебаниях спутника
на эллиптической орбите.
334
§ 2. Ветвление решений и полиномиальные интегралы
5. С. Л. Зиглин в [64] указал обобщение теоремы 1 на негамильтоновы
системы.
§ 2. Ветвление решений и полиномиальные интегралы обратимой системы на
торе
1. Пусть Т" = {а?!,... ,а:п mod 2тг} - пространство положений
механической системы с п степенями свободы, Т = | -
ее кинетическая энергия (а.д. - const), F = (Fi,...,F")- поле сил,
заданное на Тп. Уравнения движения этой обратимой системы имеют вид
kj&j = Ft, 1 ^ к ^ п. (2.1)
Предположим, что компоненты силы F, аналитичны на Тп и продолжаются до
мероморфных функций в аффинном пространстве комплексных переменных ац,...
,хп. Тогда (2.1) можно трактовать как систему дифференциальных уравнений
в Сп с комплексным временем ? € С. Следуя работе [96], рассмотрим задачи,
связанные с условиями однозначности общего решения системы
(2.1) и существования к ^ п однозначных полиномиальных по скоростям
интегралов.
Полиномиальный по скоростям интеграл назовем однозначной функцией, если
его коэффициенты
1) периодичны по ац,... ,хп с вещественным периодом 27т;
2) голоморфны в области Cn\V, где V - объединение полярных множеств
мероморфных функций FFn.
Рассмотрим прямую
х = az + b, a,b ?Сп, z € С, (2-2)
в комплексном пространстве С". Предположим, что ограничения мероморфных
функций Fi,...,F" на эту прямую являются ме-роморфными функциями на
комплексной плоскости z G С; обозначим их /i,...,/n. Мероморфность
функций /" заведомо имеет место, если прямая (2.2) трансверсально
пересекает полярное множество V в точках, не являющихся точками
неопределенности функций F". Так как V является комплексной
гиперповерхностью в Сп, а множество точек неопределенности имеет
комплексную коразмерность два, то указанное свойство имеет место для
