Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике - Козлов В.В.
ISBN 5-7029-0126-6
Скачать (прямая ссылка):
количеством выколотых точек (полюсов).
Локально при заданном начальном условии ?(?о) = ?о (^о ? X) всегда
существует однозначно определенное голоморфное решение системы (5.3). Его
можно продолжать вдоль любой кривой на X, однако это продолжение в общем
случае уже не будет однозначной функцией. Пусть 7 -ориентированный
замкнутый путь, начинающийся и заканчивающийся в точке ?0 G X. Система
(5.3) линейна, поэтому любое решение ?(?) (определенное вначале лишь в
малой окрестности точки to) можно аналитически продолжить вдоль 7. В
результате в той же окрестности точки to получим функцию ?,(?), которая
также удовлетворяет (5.3). Ввиду линейности системы (5.3) найдется такая
комплексная пх /г-матрица Т7, что (t) = = T7?(t). Если Т7 не совпадает с
единичной матрицей, то система
(5.3) имеет ветвящиеся решения.
Оказывается, множество матриц G = {Т7}, отвечающих всевозможным замкнутым
путям 7 на X, образует группу по умножению. Эта группа называется группой
монодромии линейной системы (5.3).
Отметим, что на самом деле матрицы Т € G зависят от выбора точки to € X,
так что группу монодромии следовало бы обозначать G(to). Однако при всех
значениях ?0 G X группы G(t0) изоморфны.
Чтобы понять групповую структуру множества G, рассмотрим фундаментальную
группу тг\(Х) римановой поверхности X. Ее элементы - классы путей на X с
началом и концом в некоторой фиксированной точке to, переводящихся друг в
друга посредством непрерывной деформации. Такие пути называются
гомотопными.
Если имеются два пути о и т, то им можно сопоставить третий путь 7 по
следующему правилу: начало 7 совпадает с началом с; конец о склеивается с
началом т; конец т совпадает с концом
7. Путь 7 называется произведением путей сити обозначается ст. Это
произведение корректно определяет операцию умножения классов гомотопных
путей: если пути о и т гомотопны путям о' и т7, то их произведения от и
о'т* также являются гомотопными путями. Множество классов гомотопных
путей тт\(Х, to) с операцией умножения образует группу: единичный элемент
составляют замкнутые пути, стягиваемые в точку на Х-, путь о~1 получается
из пути о обращением направления обхода. Оказывается, при разных ?0 G X
группы Ti(X.to) изоморфны. Действительно, пусть
358
§ 5. Группы монодромии гамильтоновых систем
t\ ? X и Л - путь, ведущий из точки to в точку t\. Ясно, что замкнутые
пути с началом в точке t\ гомотопны путям вида А-17А, где 7 - некоторый
замкнутый путь с началом в точке t0. Соответствие 7 -> Л-17Л определяет
изоморфизм групп ni(X,to) и 77 (X, И), поэтому можно говорить о
фундаментальной группе поверхности X, не зависящей от выбора точки to-
Можно показать, что
1) аналитическое продолжение вдоль гомотопных путей приводит к одному и
тому же результату;
2) если т, о ? 77 (X), то ТТа = ТтТа.
Следовательно, соответствие 7 -> Т7 определяет гомоморфизм групп тт 1 (X)
-> G.
Пусть Н (t) - решение матричного уравнения Е = A(t)Е с начальным условием
Е(?о) - Е. Продолжим аналитически функцию Е(t) в окрестность точки to
вдоль пути А, соединяющего точки ?о и t\. Положим Л = E(?i). Пусть 7' =
Х~1гуХ- путь с началом в точке t\ и Ту - соответствующая матрица из
группы G(ti). Нетрудно проверить, что Ту - ЛТ7Л-1, где Т7 € G(to) (ср. с
§ 8 гл. IV). Это соотношение устанавливает изоморфизм групп G(t0) и
G(t\). В частности, спектр матриц из группы монодромии G(t) не меняется
при варьировании t ? X.
Подробное изложение этих вопросов можно найти, например, в книге [42].
В § 8 гл. IV рассматривались вещественные системы, у которых X совпадает
с обычной окружностью; 7ri(X) - бесконечная циклическая группа, а группа
монодромии состоит из целочисленных степеней матрицы монодромии
соответствующего периодического решения. •
3. Пусть f(z) - голоморфный интеграл исходных уравнений
(5.1). Разложим функцию f(zo + ?) в РЯД Тейлора
?^(6 О- (5-4)
m> О
Здесь Fm - однородная форма переменных ?, однозначная на римановой
поверхности X частного решения Zo(t), причем Fo(t) = = f(zo) = const. Ряд
(5.4) - интеграл уравнений (5.2). Очевидно, что первая ненулевая форма Fm
(то ^ 1) является интегралом линейных уравнений в вариациях (5.3). Так
как функция Fm постоянна на решениях (5.3), то при каждом to ? X
однородная форма Fm(?, to) инвариантна относительно действия группы
монодромии: Fm(T?,to) = Tm(?, ^0)1 Т ? G. Это свойство налагает жесткие
ограничения на вид первых интегралов: если группа G достаточно
359
Глава VII. Ветвление решений
"богатая", то инвариантными функциями (интегралами) являются лишь
константы.
Метод Ляпунова позволяет свести задачу об интегрируемости уравнений (5.1)
к задаче теории инвариантов: найти все однородные многочлены, не
меняющиеся при линейных преобразованиях из заданной группы.
4. Рассмотрим вектор-функцию щ{?) = v(zo(t)). Она голоморфна на
римановой поверхности X и удовлетворяет уравнению в вариациях (5.3).
Следовательно, Тщ{Ь) = (i), где Т - любая мат-
рица из группы монодромии G(t). Таким образом, если т(_4) Ф О, то хотя бы
