Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
cos О' = cos # cos 0 + sin ft sin 0 cos cp
в первом интервале между нулем и Л следует применять приближенную формулу сложения
Прибавим теперь к интегралу по Я и вычтем из него другой интеграл, распространенный от Л до оо, в котором F* выражено по приближенной формуле сложения (7).
Рассмотрим теперь ошибку, происходящую от того, что разность интегралов
f(cos<K х=0)=0 при Ф>0
(5)
(6)
{)•' = У 0я -j- 4Х2 -!- cos ср.
(7)
со
(8)
Л
А
190
прел полагается равной нулю. Мы можем представить величину (8) еще и так:
00
1 f (cos ft')-F (&')] + - f %F(V).
2k- e J w *\J v
Первое и третье слагаемые здесь имеют один к тот же порядок величины Fjkz. В дальнейшем будет показано, что относительная ошибка, происходящая от того, что эти слагаемые отбрасываются, несколько меньше квадрата некоторого среднего угла отклонения и ire превосходит поэтому 1%, Второе слагаемое имеет порядок величины (0762)F"(ft), поэтому должно быть s 02/1гст раз меньше основного члена, имеющего порядок LntР"/к*. Итак, интегральное уравнение будет иметь вид
2Л СО
о о
Решение (9) следует искать в виде разложения по функциям Бесселя:
оо
о'
F^y(x,l)Jo[Zfjtdt (10)
о
Тогда F легко может быть преобразовано с помощью известной теоремы сложения аргументов для функций Бесселя:
/"(*!)•/"<§*) "и "р. (И)
П-1
При интегрировании по ср входящая в (II) сумма исчезает. Сравнивая коэффициенты при /o(6(r)-)i приходим к дифферен-
&
циальному уравнению для с(х, |):
00
?=-c^A[l-J9mj= (12)
О
Функция F, удовлетворяющая граничному условию (5), должна выглядеть так:
оо
F= jV*V0(^)^. (13)
о
Задача сводится, следовательно* к вычислению g. Подставляя вместо А его выражение и меняя порядок интегрирования, легко
191
приводим g к виду
со со -" /t
оо
dk .
g = j j f(x)f (у) dxdtj J - sin kXx sin khj [1 - J0 (|A)].
(14)
0 0
Внутренний интеграл удобно выразить с помощью интегрального представления h:
2Л
1 Г
*М ") = - I cos (а sin Ф) ^ф, 2п J
(15)
и формулы
ос
cos ах - cos Ьх
г
Q'
(16)
В правой части (16) стоит In (?>"/az) потому, что левая часть является четной функцией относительно а и Ь. В результате получим
со
'> /iTi
I sin к'кх sin кУ.у [1 - J0 (У-)] - ==
2Л
=йгМ
sin2 у кг (х - у? .
1 -
sin2 ф А2 (г + /У)2
-а-
Йф.
(17)
Для дальнейших вычислений удобно искать сначала производную dgjdl, помня, что при ?=0 и g = 0. При дифференцировав нии (17) по параметру ? мы не должны обращать внимания на то, что величина, стоящая со знаком логарифма, может обра-
1 . о 1
щаться в нуль, так как она входит в квадрате, а-------1пд^ = -
2 ах х
при всех действительных значениях х. Тогда
00
1
QO
2 Л
1 -
6* sin3 ф
k* (x + i,)2 j
-1
1 -
Г sin" Ф A2 - #
dtp.
(18)
Внутренний интеграл следует понимать как главное значение, если |2/^г(^ + У)а>1 или если /кг(х-у)2>1. Это главное значение равно нулю, в чем нетрудно убедиться непосредственным вычислением.
192
Таким образом,
ОО со
- - - \f(x)dx ( f(y)dy( l/"l ------------------------'i -
dl 21J J *\V k*(x + yy)
<l л+у>\/к
<x> CO
-ki,ix)dx 11ол^У1-щ^т- °9)
0 U-yl >1№
Далее удобно перейти к переменным х+у=а и х-у=b и ввести обозначение е = |/А, После этого (19) переходит в
Оо а
dg 1 С da Г льр /а~г &\ л /а^ & \
8 К "
то
<2о)
Тогда
со оо
? ? а
СО Л
(!=-*). (2.)
? ?
Интеграл, входящий в первое слагаемое, преобразуется по частям:
со
ОО
+ е* i /' (а) In (а -j-)/'а2 - ea) da ^
^е2 |^-| + |Г (а) 1пЫа j - е2 (ln~ + 0,489j. (22)
При этом отброшены члены порядка гт/з. Связанная с этим ошибка будет оценена ниже. С той же точностью могут быть вычислены второе и третье слагаемые (21). После довольно длинных
7 А. С. Компанеец 193
вычислении они выглядят так:
оо со
_Г с Г?жжлп*) / М+ts*m -Г_мt(у)\ dxdy аQ>906e,,
2 JJ Л- + У X - у }
о о
(23)
Вспоминая теперь, что е = ?/Л( найдем #(?):
g(?)"|V-^-. , (24)
Функцию распределения можно теперь писать так:
* = j (") (25)
о
Введем переменную интегрирования Ц2к^=х, тогда F будет иметь следующий вид:
*<2> Т yg]n g"m_
j ' '' Ч*$уь- Р"
|>
Величина Ь входит в (26) через аргумент
(27)
определяющий таким образом универсальную единицу угла з задаче о многократном рассеянии. Кроме этого аргумента, функция распределения зависит от параметра т, представляющего полное число столкновений, претерпеваемых электроном внутри пластинки. Если, не меняя обозначения, ввести величину М Вильямса [2а]
М = 2,03 h~z-a , # = 6.02 • 1023, - (28)
тЧ>2 а
где о - поверхностная плотность рассеивателя, а- его атомный
вес, получим под логарифмом (26) V 1,64 М. Для удобства сравнения с Вильямсом мы будем в дальнейшем также пользоваться величиной М. Численное интегрирование показало, что (26) вплоть до значений ft'^2 хорошо воспроизводится распределением Гаусса. Полуширина (точнее, 1/е-ширина) его определяется как функция т. Если бы (26) содержало только In М в показателе, полуширина определялась бы так:
ot0 = yin М, (29)
в единицах, даваемых уравнением (27).
194
На самом деле, под логарифмом стоит также х, и это несколько меняет истинную полуширину а. Ес отношение к се*, само является некоторой весьма медленно изменяющейся функцией М, которая может быть изображена следующей таблицей, найденной в результате численного интегрирования (26):
