Физико-химическая и релятивистская газодинамика - Компанеец А.С.
Скачать (прямая ссылка):
Интеграл по столкновениям, входящий в первую часть кинетического уравнения, будем писать с той же точностью, что и в (А), уравнение (9). Единицы длины примем также совпадающие с (А), т. е. г=т, а для других координат сохраняем обозначения х, у в новых единицах (единица длины = _24jfniv'i/yf-iji7hz*imzN9 где N - плотность атомов рассеивателя, //- дираковский квант действия).
Вероятность столкновения на единице длины равна в наших обозначениях
где ф(г) - потенциал Томаса - Ферми, & - импульс в соответ^ ствующих единицах [см. (А)]* Здесь - углы, определяющие направление скорости после столкновения. Существенно, что W зависит только от абсолютной величины угла столкновения. Кинетическое уравнение имеет следующий вид:
в (А).
<5-6')М-(п~п')*
1
0)
* ЖЭТФ, 1947, 17, вып. 12.
200
2n(^-+!af+4efW
\ дт дх dy j
со оо
= - \ W{F(x, у, g, n)-F(x, у, g', п')> dW- (2)
-ОО -00
Введем другую, усредненную функцию распределения, которая определяется так:
оо со
f= f dy f dx\F (x, у, I; r\). (3)
-DO -DO
Производя это усреднение над уравнением (2) и пользуясь тем, что на бесконечности F равно нулю, имеем
оо
2я(| + в|) = - ('И?-М(х, ?)-/(*, Г)1^ (4)
-со
где
оо
w = j* Wdr\, (5)
-00
w введено вместо W. Пользуясь (1)т приводим ш к такому виду;
А / /V
- (г+г') оо г а
W
2л f ф (г) dr Г ф (г') dr' Г J0 [(Е-?') s] ds, (6)
<j J J
где J0 - функция Бесселя нулевого порядка. Будем теперь ис кать неизвестную функцию / в виде интеграла Фурье:
00
/ = j1 е(и, т, х) du. (7)
"оо
Тогда слагаемое ?- в левой части преобразуется так:
wдх г г v
00
b?l=t \ е'*и -^L- (8)
dx J djrda
-со
а правая часть принимает вид
ОО OQ
- j efrtydu j dgw (Г) (1 -e^y, ? = (9)
-ОО -СО
201
Пользуясь известным разрывным интегралом для бесселевой функции
v'-'.:1"!' s>|u|;
У S" - и2
00
j* e**J0 (sQ (Щ =
О
О, S<ju|,
можно показать, что
оо
J (?") (1 -eW) d?=2ng (U), (10)
-СО
где g(и)--функция, найденная в (А), (24). Именно:
ё(и) = ^ Ш2,42|. (11)
Таким образом, интегральное кинетическое уравнение сведется к следующему дифференциальному:
02)
д% дидх
Предполагая падающий пучок бесконечно тонким, мы должны полагать, что при
т = 0, Ц(и,х) = ±Ь(х), (13)
где 6 (х) - известная 6-функция. Тогда при т=0
/ (О, S* ¦*) = й (х) б (|). (14)
Пользуясь (12), находим / в таком виде:
00 СО / и *
f(T, ?, x) = J^t j ^ j ^ exp I i\LX + iul-\-j g (u) du j. (15)
-CO -00 ^ Д+ЦТ /
Интегрируя / по x, приведем его к форме
ос
/ (Т, 0 = j f (Т, ?, х) dx = j exp {im|-g (u) t> du. (16)
-op u>-te
Отсюда легко снова перейти к распределению по углам 6 = + а именно:
u<k
F (г, 0) = - \ (ид) uduy (17)
2 л J
о
которое было получено в (А), (25).
Интересно произвести сопоставление (16) и (17). Распределение (16) должно получиться, если рассеянные электроны ре-
202
гист^ирует достаточно длинный счетчик, в который попадают все электроны, отклонившиеся на данный угол от плоскости х~0.
(16) можно назвать распределением по плоским углам. (L7) яв-ляет-ся распределением по телесным углам, так как оно дает вероятность отклонения на утол 0 от оси я = 0, у = 0. Его зарегистрирует счетчик, весьма короткий по сравнению с диаметром рассеянного пучка. Распределение (17) было подробно рассмотрено в (А). Если ввести параметр М, пропорциональный числу столкновений, претерпеваемых электроном в пластинке, то (17) и (16) оказываются функциями от 1пМ, М определяется формулой [см. (А), (28)]1
Л* = 2,03
mV а
Ни (16), ни (17) не сводятся к распределению Гаусса, но весьма на него походят, если вычислять их численно. При этом от^
ношение полуширины кУ1пЛГ (точнее, 1/е-шкркны) оказывается функцией М. Если бы g(w) не содержало и под логарифмом, полуширина распределения была бы строго пропорциональна
yin М.. Однако отличие истинных распределений от гауссова при данном М ясно сказывается при сравнении полуширин (16) и
(17). Как известно, гауссово распределение по углам 0 является произведением таких же распределений по углам ? и цу так как 0- = !а + тги имеет одинаковую с ними полуширину. Численное определение полуширин (16) и (17) дает иной результат. Если
ввести полуширину (17) а в единицах а0 = У1пА1 и в тех же единицах а'для (16), то получается такая таблица:
М 1G 28 56 250 1000 5000 100 000
а/% 0,84 0,95 1,00 1,04 1,06 1,06 1,06
о7а0 1,00 1,05 1,075 1,08 1,08 1,08 1,08
Из таблицы видно, что результирующие отклонения электрона по углам | и т] нельзя считать независимыми, особенно при ма-лом числе столкновений.
Аналогично (16) можно определить и распределение плотности пучка по координате х. А именно:
аа
Х(*,т)= Г X) =
tJ
- ю
U<fe/T
= ST J (18|
0
1 Af~6,Q2* 10i3, о - поверхностная плотность рассеивателя в a/c*2, а - атомный
вес рассеивателя.
203
Вия (18) вполне аналогичен (16), и от него тем же способом легко перейти к распределению по радиусу г=Ух* + уг. Вводя в
По виду х(т'х) не отличается от f(т, ?). Для вычисления полуширины х следует ввести величину М/, аналогичную М, которая связана с ней равенством
ЛГ = 0,72Л1.
Результат (19) так же отличается от полученного Ферми, как угловое распределение (17) от обычного 1гауссового. Но следует заметить, что при выводе (17) и (19) не учитывались конечные размеры ядра, которые сказываются и на рассеянии на малые углы, когда энергия электронов достаточно велика (например, для космических частиц).
