Оптическая галография - Кольер Р.
Скачать (прямая ссылка):
§ 1. Расчет разности фаз между предметной и опорной волнами
Будем считать, что предметная, опорная и освещающая волны в любой точке Q в плоскости голограммы (фиг. 3.1) характеризуются фазой в этой точке по отношению к фазе в фиксированном начале координат О. (Предполагается, что амплитуда сферической волны, исходящей из каждого точечного источника, приблизительно постоянна в плоскости голограммы.) Пусть пространство по обе стороны от голограммы имеет одинаковый показатель преломления; тогда, считая голограмму очень тонкой, относительные фазы можно рассчитать по геометрическим разностям хода световых лучей. Мы используем здесь метод расчета
76
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 3
Мейера [3.2], справедливый в параксиальном приближении. (Расчеты для непараксиального случая см. в работе [3.3].)
Пусть a = а0 ехр (i фа) — комплексная амплитуда световой Волны, приходящей в плоскость голограммы из точечного предметного источника, и г = г0 ехр (і срг) — комплексная амплитуда опорной волны в плоскости голограммы. Тогда, как и в гл. 2, § 5
ФИГ. 3.1. Параметры, необходимые для расчета
разности фаз срг — фа.
(но не ограничиваясь рассмотрением осевых голограмм), для интенсивности, регистрируемой в плоскости голограммы, получим
/ = ^ + г02 + га* + г*а. (3.1)
Наибольший интерес для нас представляют интерференционные члены
га* + r*a = 2a0r0 cos (фг — сра), (3.2)
которые описывают периодические пространственные вариации интенсивности, т.е. интерференционные полосы. Пространственная частота полос на голограмме определяется скоростью изменения аргумента косинуса, т. е. разности фаз срг — сра.
Рассмотрим теперь схему получения голограммы (фиг. 3.1).
ПреДМеТНЫЙ ТОЧеЧНЫЙ источник P раСПОЛОЖеН в плоскости XiJJі,
отстоящей от начала координат О на расстоянии Z1 = — d. Начало координат О лежит в плоскости голограммы х'2у'2 (штрихи будут сохраняться до тех пор, пока мы не дойдем до рассмотрения увеличения голограммы). Опорный точечный источник R расположен в некоторой произвольной плоскости хгуг на расстоянии zr от плоскости голограммы. Если R находится слева от голо-
РАСЧЕТ РАЗНОСТИ ФАЗ
77
граммы и опорная волна исходит из R1 то zT < 0 (как на фиг. 3.1); если R находится справа от плоскости голограммы и опорная волна сходится в точку і?, то zr > 0. Мы хотим рассчитать величину фг — фа в произвольной точке Q в плоскости голограммы. Чтобы определить число периодов колебания интенсивности на единицу расстояния вдоль координатных осей, т. е. простран-
ФИГ. 3.2.
К определению знака разности фаз в точках QnO.
а — для расходящейся предметной волны; б — для сходящейся опорной волны.
ственную частоту, продифференцируем величину (1/2л) (фг — фа) по пространственной координате. Тогда мы узнаем, сколько полос на единицу длины в данном направлении должно быть зарегистрировано фотографической эмульсией в зависимости от взаимного расположения точек P1 R и голограммы.
Начальные фазы волн, исходящих из P и R1 совершенно произвольны. Пусть они выбраны так, что в точке О в плоскости голограммы фазы обеих волн одинаковы. Мы можем считать эти значения фаз равными нулю. Поскольку PnR — точечные источники, каждый из них излучает сферическую волну, фаза которой в любой точке пространства пропорциональна радиальному расстоянию от этой точки до источника. Тогда, вычислив разность хода PQ — PO, мы получим фазу фа световой волны, приходящей в точку Q из точки Р. Аналогично можно рассчитать фазу фг для волны, приходящей в точку Q из точки R. Следует обратить внимание на знак фазы в точке Q относительно фазы в O1 для чего рассмотрим две схемы (фиг. 3.2). Величина разности фаз фа, соответствующая разности хода PQ — PO1 равна | фа | = = (2я/Я) I (PQ — PO) I, где Я — длина волны. Если P — реальный точечный источник, испускающий расходящуюся сферическую волну, и если PQ >> PO1 то волновой фронт, пришедший
78
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ГОЛОГРАММ
ГЛ. 3.
в точку Q, испущен источником раньше, чем волновой фронт, одновременно достигший точки О (фиг. 3.2, а). Поэтому фаза волнового фронта в точке Q должна быть меньше фазы в О (предполагается, что фаза возрастает со временем) и, следовательно, Фа = — (2тс/К) (PQ — PO). Ha фиг. 3.2,6 изображена сходящаяся опорная волна. Здесь R представляет собой точку, в которой фокусируется опорная волна. Эта точка находится по другую сторону от голограммы по отношению к точке Р. Для RQ > RO фаза волнового фронта в Q больше, чем в О, поскольку волновой фронт, достигший точки Q, был испущен позднее. Таким образом, для сходящейся опорной волны фг = + (2nlK) (RQ — RO)1 в то время как в обычном случае расходящейся опорной волны Фг = - (2я/Я) (RQ - RO).
Теперь вернемся к вычислению разности фаз фг — сра для случая, когда и P1 и R являются источниками расходящихся сферических волн, располоя^енными по одну сторону от голограммы. Для фазы предметной волны в Q получаем
= - Ir {к*; - *і)2+(»; - у о2+2-]1/2 - {<+у'+2*]1/2>=
= |LZi {[I+ W-«i)' + M-*>' ]1^_[i + ^i+lL]1^ ,
где X1- длина волны излучения, используемого для получения интерференционной картины, и где предполагается, что значение Z1 отрицательно, так что знак сра остается отрицательным. (Таким образом, вид волны, т. е. является она расходящейся или сходящейся, определяется знаком Z1.) Если как Р, так и Q расположены не слишком далеко от оси z и если Z1 достаточно велико, то фа можно в первом приближении представить в виде
