Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
сравнение коэффициентов при Zx (kmr) с одинаковым т. Имеем:
ОО
(n+^)z,(fcmr) = 2TfZi(fts/-), (2.8)
S=l
где коэффициенты
s
о
Г
' 2 ' 2 ^7 f Г(Лiksr)dr’ HS = f Гzl(ksr) dr
могут быть вычислены, если известны ks. Мы можем теперь вставить (2.7) и
(2.8) в (2.5) и приравнять коэффициенты при одинаковых Z,(kmr). Получим
после простых преобразований:
\Zo{kmr2) Сб -\~Zo{kmr 1) С7] -j- {km 4“^2) ат 4~
1
,2 .,2 а2 4- ...1 = 0. (2.9)
^2 )
Придавая т разные значения, получим систему бесконечно большого числа
однородных линейных алгебраических уравнений для определения с', с', аг
а2, ... Прибавим еще сюда неиспользованные условия обращения и3 при г =
гх и г = г2 в нуль. Для этого заметим, что по уравнению неразрывности,
обращение м3 в нуль экви-
I diit п / \
валентно равенству: -р--\—= т. е. (см. выше)
СО
2 kmamZ0(kmr) = Q.
m = 1
УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ МЕЖДУ ДВУМЯ ЦИЛИНДРАМИ
665
Итак, имеем ещё два условия:
*l2o(Vl)«l + A2Zo(Vl)fl2 4- ... =0, |
kxZ0(kxr2) «1 + k2Zo(k2r2) а2+ ... =0. J
Бесконечная система (2.9) и (2.10) и должна служить для определения с'6,
c’v av а%, ... Приравнивая её определитель нулю, мы получим то, что мы
ставили себе целью получить — вековое уравнение, связывающее при данных
Ш], и>2, гх и г2 величины (3 и X (вернее X и X' = |^X2-f- (3/v).
Тейлор дал детальный анализ этого векового уравнения, причём, ввиду
чрезвычайных вычислительных трудностей, ограничился случаем, когда г2 —
гх мало по сравнению с —L4( Гг . Отсылая за деталями к цитированным выше
работам Тейлора, в которых имеются также и результаты экспериментальной
проверки, укажем на главнейшие выводы. Анализ показывает, что если
цилиндры вращаются в одну и ту же сторону, то при < u>2r| всегда будет
иметься устойчивость. Элементарный критерий этот неприменим, если
вращение происходит в противоположных направлениях. На рис. 190
дана кривая, представляющая по Тейлору границу устойчивости. По
горизонтальной оси отложены здесь значения w2/v, по вертикальной cuj/v,
причём взято гх — 3,55 см, л2 = 4,035 см, так что (r2/ri)2 = 1 -292 (ниже
прямой и^/ши = 1,292— всегда имеет место устойчивость). Интересно
отметить, что в случае, когда вращение происходит в разных направлениях
(<в2 <10)- значение а»1, начиная от которого будет иметь место
неустойчивость, должно быть больше, чем то, после которого будет
неустойчивость при ш2 = 0.
На рис. 191 приведено сравнение данных теории и эксперимента
666
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. III
Если оба цилиндра вращаются одинаковым образом, потеря устойчивости
проявится в возникновении рядов вихрей в плоскости меридиана, имеющих
чередующиеся противоположные вращения и занимающих всё пространство между
цилиндрами (рис. 191). Экспериментально можно обнаружить возникновение
этих вихрей, помещая вдоль внутреннего цилиндра тонкий слой окрашенной
жидкости; краска эта, когда возникают вихри, располагается по кольцам,
окружающим вихревые области (рис. 191).
Если цилиндры вращаются в противоположные стороны, образуются два ряда
вихрей; из них один соприкасается с внешним,
Риг. 191.
Рис. 192.
а другой с внутренним цилиндром (рис. 192). При этом краска
распределяется как показано на рисунке.
Как качественно, так и количественно теория Тейлора даёт поразительное
совпадение с опытом.
Сайндж (Synge)1) в 1938 г. привёл задачу Тейлора к уравнениям значительно
более простого вида и показал, что критерий устойчивости < оу;* (при со,
и ш2 одинакового знака) будет справедлив
Г1 -4— Г 2
не только, когда г2 — г, мало по сравнению с —^—> но и
в общем случае.
§ 3. Устойчивость течения между пластинками и устойчивость в пограничном
слое. Перейдём теперь к исследованию устойчивости других движений. Мы
остановимся на движениях
') Synge J., On the Stability of a Viscous Liquid between rotating
coaxial Cylinders, Proc. Roy. Soc. (A), London, 167 (1938), № 929, стр
250—256.
устойчивость течения между пластинками
667
между двумя неподвижными параллельными стенками!) и на движениях в
пограничном слое. Будем рассматривать эти задачи параллельно; первую из
этих задач будем называть сокращённо случай I, вторую — случай
II. Во всех случаях мы будем считать как движение,
так и возмущение плоскими2).
Функция тока ф плоского движения вязкой несжимаемой жидкости
удовлетворяет, как мы знаем, уравнению (см. гл. II, § 8);
д . , дф д Дф , дф д Дф , . , . ,,
+ (ЗЛ)
где v — кинематический коэффициент вязкости. Наше движение мы, как и в
случае, рассмотренном Тейлором, считаем разбитым на два: основное,
стационарное с функцией тока 47 и бесконечное малое возмущение с функцией
тока ф'
ф(лг, у, t) — W(x, у) + Ф'0. У, t). (3.2)
Таким образом скорости vx и vy представятся в виде: дФ . , »' ,
,
+ vy ~ дТ~^~ У'
где
, ___сЦ/ , __ дф'
V* ду ’ Vy дх
Функция ЧГ должна сама удовлетворять уравнению
дФ дДФ . дФ дДФ . „
•--д 1---------b - л--А vA ДФ = 0.
дх ду 1 ду дх
Заметив это, мы получим, подставляя (3.2) в (3.1), сохраняя линейные
