Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
680
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. III
где
z = yc-~ = ycVVca.R. (3.51)
В приводимой здесь таблице XII даны значения Fr и Ft в функциях от z по
Линю.
Таблица XII
г Fr F т F. 1
1,0 0,89161 —0,35025 3,0 0,46456 0,17391
1,2 0,78969 —0,27310 3,2 0,41947 0,22520
1,4 0,71970 —0,21213 3,4 0,36110 0,27193
1,6 0,66931 —0,16009 3,6 0,28802 0,30705
1,8 0,63143 —0,11274 3,8 0,20352 0,32130
2,0 0,60144 —0,06741 4,0 0,11800 0,30721
2,2 0,57599 —0,02226 4,2 0,04698 0,26559
2,4 0,55230 —0,02395 4,4 0,00240 0,20811
2,6 0,52773 —0,07203 4,6 0,02160 0,14475
2,8 0,49952 0,12220 4,8 0,01477 0,09875
Итак, мы приходим к решению уравнений типа
Е(с, а) = Fr + iFt, (3.52)
причём для случая I':
Рг л с 40)
Е(с. а) = — —i------• (3.53)
° (1) -f- — /j (1)
для случая I":
Е(с,а)=-$----------------Щ , (3.54)
для случая 11:
Е(с, я) = — —---------------/2(1) , а/2(1)------------^
е U0 |Д 0) + “/2 0)] + ~ [/[ (1) + “/l (1)]
Уравнение типа (3.55) было получено ещё Толлмиеном в упомянутой выше
работе об устойчивости пограничного слоя. Если представить левую часть
этого уравнения в виде '):
Е(с, а) — Ег (с, a) -j- /?\ (с, a)
(при этом мы берём сг —0, т. е. занимаемся лишь нейтральной линией), то
задача определения нейтральной линии сводится к исклю-
!) Левая часть будет комплексной благодаря интегрированиям, имеющимся в
формулах (3.20).
устойчивость течения между пластинками
681
чению с из двух уравнений
Ег(с, а) =/%(*), Et{c, a) = Fl(z).
В плоскости (а, R) мы получим тогда линию, отделяющую область
устойчивости от области неустойчивости. Чтобы исключить с, Толлмиен
изображает в некоторой плоскости кривую, абсциссы и ординаты которой суть
Fr(z) и Ft (z) соответственно (z рассматривается при этом, как
действительный параметр); затем в той же плоскости изображается семейство
кривых, получающихся при разных с, если Ег(с, а) и ?)(с, а) изображать
как абсциссы и ординаты (переменный параметр на каждой кривой а). Точки
пересечения этих кривых дадут «совместные» значения z и а, а так как с
при этом известно, то по (3.51) может быть найдено R.
Толлмиен рассматривает профиль U (у), состоящий из1)
прямой U = 1,68т; от tj = 0 дот} = 0,175,
параболы U = 1—(1,015 — iff от v; = 0,175 до т; = 1,015,
прямой U= 1
На рис. 193 изображены
Там же дана кривая F (z)2)
(по Толлмиену).
На рис. 194 изображена
линия, отделяющая область неустойчивости (внутри) от области
устойчивости; здесь по оси абсцисс отложены Umb*ji, а по оси ординат аЬ*,
причём 8* = 0,3418, где 8 — толщина пограничного слоя, введённого
•) Этот профиль подправляется около стенки, а также при рассмотрении
критического места tj = при этом принимаются в расчёт формулы Блазиуса.
2) Данные рисунка и таблицы для 7 несколько расходятся. Таблицы — точнее.
при т] > 1,015 т) = у/8.
кривые Е(с, а) для этого случая. ah
t
ол 0,3 0,2 0,1
V 103 Ю* 10s Ю6 107 Ю8 10s Юш
Рис. 194.
682
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. III
выше. Кривая зависимости между а и R показывает, что при R < 420
возмущение будет затухать.
Линь вместо громоздкого графического способа решения развивает метод,
годящийся для любого профиля скоростей и основанный на представлении
левых частей (3.52) при помощи рядов (3.19),
(3.20). Попутно Линю удаётся дать ряд общих теорем, касающихся ^
поведения нейтральной
(г >,о as
Q2
кривой при очень больших значениях R. Так, например, Линь показывает, что
нейтральная кривая сг (a, R) = 0 имеет две асимптоты при R —»? со, причём
эти две асимптоты сливаются в одну (а = 0), когда основной профиль
Jzgfyfi скоростей не имеет точки перегиба, но эти две асимптоты различны
(одна из них отвечает а = 0, Ф 0), когда профиль основного потока имеет
точку
\
ч
'0 10 го 30 ВО 50 ВО 70 SO ВО ЮО 110 Рис. 195.
: а,
другая — а: перегиба.
Линь даёт также приближённые правила подсчёта минимальных вначений
критического числа R. Отсылая за подробностями к статье Линя, дадим без
вывода эти последние правила.
Прежде всего надо найти значение ус из уравнения
й'Ф)Ус 1 и {ус) й" (Ус)
(оно решается леншо ус и с:
и найти по ус ское число Rm для случая
irt/'(0) |з — 2-
графически).
U (ус) \ U' (уз)3 Надо затем вспомнить,
0,58
что по опреде-
с = и (ус)
соответствующие значения с. 1П найдётся по Линю в виде:
I
Минимальное критиче-
Rraln '
для случая II
л/ и'
30(7' (0) I/
гЗ г
(0) f U2 (у) dy
'min '
256" (0)
На рис. 195, заимствованном из статьи Линя, дана кривая нейтральной
устойчивости для случая движения между двумя неподвиж-
УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ МЕЖДУ ПЛАСТИНКАМИ
683
дыми плоскостями. Здесь
U = — у2, Rniin ~5314.
Две ветви этой кривой при больших R даются уравнениями
1 _Д 1 _1
R 3 = 8,44 (а2) 3 и R 3 =5,96 (а2) 6.
На рис. 196, также взятом у Линя, мы даём кривую нейтральной устойчивости
для случая Блазиуса (обтекание пластинки). Линь выбирает профиль U в
виде:
U = 2у — Зу4,
а толщину пограничного слоя определяет по формуле !)
