Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
8 = б/ -f.
Здесь Линь получает Rmin™420 и асимптотические ветви кривой в виде:
R = 2,2 ? Ю"5а"10, R = 0,0622а"4.
Путём очень тонких измерений удалось получить количественное сравнение
теории с экспериментом. При помощи специальных
600 1600 2400 3200 4000
R
Рис. 196.
гермопар Шубауэр и Скрэмстэд 2) измерили пульсации скоростей в самом
пограничном слое. На рис. 196 наряду с теоретической кривой
!) Ср. стр. 574, где принято 5 = 5,2 |/ -у.
2)Schubauer and Skramstad, Laminar Boundary Layer Ostilla-
ions and Stability of Laminar Flow, J. Aeronautical Sc., 14, 1947, № 2.
684
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[i.’i. ill
Линя нанесены (точками) некоторые значения R и а для «нейтральных» точек,
полученные экспериментально. Совпадение следует признать хорошим.
Потерю устойчивости пограничного слоя в неоднородной (хотя несжимаемой)
жидкости исследовал Шлихтинг.
Написав уравнение движения в виде
н = — VP + 5х ^
уравнение неразрывности и условие несжимаемости в виде
die V •-= 0, 4f = ® 1 = 0.
dt dt '
Шлихтинг обращается к плоской задаче и предполагает, что на основное
движение
ио(П == °> Р = А>(у). Р = Ро(УЬ (Fx = 0, F у = — g)
накладываются малые колебания типа vXi(y)ei{ax~bt}, Vyi{y)el{ax~bt\ ...
Pi (У) [ax~bt). В качестве р0(у) Шлихтинг берёт затем функцию
р0(у) — р01е~ГУ, где 0 < у = const, и принимает v =-~ = const.
Если ввести затем, как это мы уже сделали при рассмотрении пограничного
слоя в несжимаемой жидкости, безразмерные величины
с = ? , R = ,
a v
то для определения функции /(множитель при e,^ax~bt) в уравнении функции
тока 4' = уеЦах-Ы) накладываемых колебаний) получится следующее
уравнение, являющееся непосредственным обобщением уравнения (3.11):
(U — c)2(f"—«?f) — {U—c)U"f+Kf—L(U — c)l(U—c) f — V f\ =
= __ [/!V — 2x2f" + a4_f _ I ( f»> _ a2y/)].
Шлихтинг дает приближённый анализ этого уравнения, отыскивая решение его
в виде
/ = /o + *YlAr) + ?/(i’+ •••
и ограничиваясь первыми степенями К и L (К и L значительно меньше
единицы); здесь f. представляет решение Толлмиена. Анализ устойчивости
проводится совершенно аналогично тому, как это делается
U = , а=-ао, 3 Ъ = ~
и ' и Ь
а также
Кг-ГУ* .
§ 31 устойчивость течения между пластинками 685
в случае несжимаемой жидкости (отыскание решения при исследование
особенности U — с и т. д.); однако теперь надо отыскать целых два
семейства кривых, отделяющих области устойчивости и неустойчивости
(дающих связь между а и R) в зависимости от значений, которые мы дадим
двум параметрам К и L. Заметим, что в то время как кривые, изображённые
на рис. 196, уходят на бесконечность, здесь могут оказаться случаи, когда
область неустойчивости будет ограничена замкнутой, находящейся на
конечном расстоянии кривой. За подробностями отсылаем к цитированной
работе Шлихтинга.
В качестве примера на определение неустойчивости сжимаемой жидкости
покажем как получается потеря устойчивости в находящейся в равновесии
атмосфере. Пусть воздух, рассматриваемый как идеальная жидкость,
находится в равновесии под действием силы тяжести и при наличии линейного
падения температуры с высотой
Т — Т0—yz (Tq = const., 0 < у = const.)
(начало координат — на поверхности земли, ось 2 смотрит вертикально
вверх). Пусть в этой среде поднимается частичка воздуха (адиабатически) и
притом так, что давление её (р) в каждый момент поднятия равно давлению р
окружающей среды. Последнее зависит от закона падения температуры с
высотой, ибо, вследствие равновесия, мы имеем
= _ _ _ _?Р_
dz s* RT *
так что
.s
(То— Тг) ^
Р А - р >
1 О
где А — const.
Обозначим температуру нашей частицы через Т. Тогда, на основании
адиабатичности её движения,
Т=Та{^-
_Р_
.Ро.
где Т0 и р0 — исходные температура и давление частицы; таким образом, как
только частица достигнет высоты г, она получит температуру
х-1
Т=Т0‘ р
Изменение температуры при подъёме будет поэтому таково, что
--г у.— 1 ,, V.— I a ds -л—: и ,/ /
d\w Г =----------d\np —---:
к I ~ V. Ry Г
686
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. И]
Величина ------------ называется в метеорологии адиабатическим гра-
диентом и обозначается буквой 7 :
v = *— 1 g
ia X R •
Таким образом мы получим:
_ Та
Z- = (—)т.
То \т0)
Установив это, предположим теперь, что частица имела в исходном положении
ту же температуру 7’0=7'0> что и соседние, но получила вертикальный
сдвиг. Частица начнёт двигаться, причём её уравнения движения будут иметь
вид (лагранжевы координаты):
d2z 1 dp
-3p = -g~7te
ii dp dp
Но, по предположению, = —? — — gp; поэтому
d2z . p p—7 T—T
-^ = — g + ±g = gjL^-!L = g — —, dt2 p p T
или, вследствие установленного для Т выражения (7’0=7’0):
Ъ-х
Предположим сперва, что 7 < уа. Пусть тогда масса получает сдвиг вверх;
при этом она попадает в область таких значений z, для которых Т(z) < jT0.
и так как будет 7J7—1 >0, то d2zjdt2 < 0, и масса будет стремиться
опуститься. Если же масса получит сдвиг вниз (Г>7'0), то d2zj'dt2^> 0, и
масса будет стремиться подняться. Воздух будет находиться в устойчивом
