Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 165

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 159 160 161 162 163 164 < 165 > 166 167 168 169 170 171 .. 183 >> Следующая

движения между двумя пластинками и не нашли потери устойчивости. К тому
же выводу приходили и такие авторы как: Мизес, Хопф (Hopf), Гольдштейн
(Goldstein), Пекерис (Pekeris) и многие другие. Если не считать теории
Гейзенберга3), которая считалась неполной и неточной и не была поэтому
общепризнана, все теоретические работы до сравнительно недавнего времени
давали отсутствие возможности потери устойчивости движения между двумя
пластинками. Первое строгое доказательство того, что движение между
параллельными пластинками может оказаться неустойчивым при некоторых
значениях R, было дано в работе Линя 4). В этой же работе даётся попутно
анализ ошибок, или неточностей, из-за которых ни один из предыдущих
авторов не мог добиться верного результата.
Прандтль5) в 1921 г. и Титьенс6) в 1925 г. впервые рассмотрели вопрос об
устойчивости пограничного слоя; при этом они предположили, что профиль
скорости основного потока может быть составлен из нескольких, различным
образом наклонённых прямолинейных кусков7). Авторы эти пришли к
парадоксальному выводу: пограничный слой везде неустойчив. Позднее
Толлмиен8) показал, что вывод получился благодаря предположению, что
кривизна профиля скоростей основного потока всюду равна нулю. Принимая,
что кривизна профиля скоростей хотя бы в отдельных частях этого профиля
отлична от нуля,
которого все точки в любой конечной области регулярны и коэффициенты
которого суть целые функции от параметров а, с и aR, будет, по известной
теореме теории дифференциальных уравнений, иметь систему четырёх
независимых решений, являющихся аналитическими функциями у и параметров
с, a, aR и целых и функциями этих параметров.
*) О г г, Proc. Roy. Irish Acad., 27, 1906, 1907.
2) Sommerfeld, Proc. 4th. Int. Congress Math., Rome, 1908.
3) Heisenbere, Ann. d. Physik. 74 (1924).
4) Lin C., On the Stability of Two—Dimensional Parallel Flows. Quarterly
Appl. Mathematics, т. Ill, № 2, № 3, № 4, 1945, 1946.
5) P г a n d t I L., Bemerkungen Ober die Entstehung der Turbulenz, ZaMM,
1921.
6) T i e t j e n s O., Beitrag zur Entstehung der Turbulenz, ZaMM, 1925.
7) Предположение это было связано с желанием описать тот факт, что
в местах, находящихся около « очки отрыв i> ламинарного слоя, профиль
скоростей имеет на некотором расстоянии от стенки точку перегиба.
8) Toll mien, Ueber die Entstehung der Turbulenz, Gdttingen Nachrlch-ten,
1929, стр. 24.
УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ МЕЖДУ ПЛАСТИНКАМИ
671
'Голлмиен получил, что коль скоро числа Рейнольдса не превосходят
некоторой величины, изучаемое движение устойчиво.
Толлмиен рассмотрел конкретно лишь профиля U, состоящие из кусков прямых
и парабол. В более поздней работе1) Толлмиен вернулся к случаю
произвольного профиля в пограничном слое.
Розенбрук2) применил метод Толлмиена к исследованию движения в диффузоре,
аппроксимируя профиль скоростей в виде полинома шестой степени.
В упомянутой работе Линя даётся также и решение задач об устойчивости в
пограничном слое для произвольного распределения скоростей U. Мы
расскажем в общих чертах о работе Линя, отправляясь от изложенной выше
постановки задачи, параллельно проводя рассуждения для случая I и случая
II.
Путь построения решения, принятого Линем, заключается в следующем.
Уравнение (3.11) содержит три параметра: а, с, 1/aR. Параметр 1/aR можно
считать малым, ибо устойчивость теряется при больших числах Рейнольдса.
Поэтому для целей подсчётов удобно искать четыре независимых решения
нашего уравнения четвёртого порядка в виде рядов по малому параметру
1/aR. Однако при построении этих рядов встретится принципиальное
затруднение. Дело в том, что параметр 1/aR входит в наше уравнение при
старшей производной. Если просто отбросить член с 1/aR в (3.11), то мы
придём к уравнению второго порядка, имеющему особенность в той точке, где
U = c. (3.15)
Пусть это будет точка
У = Ус-
Для точного уравнения четвёртого порядка у = ус не будет особой точкой.
При построении наших асимптотических рядов надо тщательно проследить за
проявлением этой особенности, вводимой лишь математическим методом
интегрирования. Это можно будет сделать, если мы получим возможность
сравнения наших асимптотических разложений по 1/aR, удобных для
практических расчётов, с точными решениями уравнения четвертого порядка
(3.11).
Начнём с построения решения (3.11) в виде:
/ (у) = /(0) (у) Ч- /(1) (у) ^ + /(2) (У) (-^)2 + • • • (3-16)
Подставляя это в (3.11) и сравнивая члены при одинаковых степенях 1/aR,
получим следующую систему дифференциальных
') Toll mien W., Ein allgemeines Kriterium der Instability laminarer
Geschwindigkeitsvertellungen Gottingen Nachrichten, 1935.
2) Rosenbrook, Instabilitat der Grenzschicht im schwach divergenten
Ivanal, ZS ang. Math. u. Mech., 17 (1937), вып. 1, стр. 8—24.
672
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. III
уравнений:
(U — с) (/<°>" — а2/<°>) — (7'7<0) = 0, (3.17)
(U — с) _ а2у:<*)) _ Z7"/(fe) —
= — i[f{k~ V/v— 2о?рь-1Г + а«/<*->>]. (3.18)
Предыдущая << 1 .. 159 160 161 162 163 164 < 165 > 166 167 168 169 170 171 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed