Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Кочин Н.Е. -> "Теоретическая гидродинамика. Часть 2" -> 166

Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.

Кочин Н.Е., Кибель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидродинамика. Часть 2 — Физматлит, 1963. — 728 c.
Скачать (прямая ссылка): teoreticheskayagidrodinamika1963.pdf
Предыдущая << 1 .. 160 161 162 163 164 165 < 166 > 167 168 169 170 171 172 .. 183 >> Следующая

Уравнение (3.17) это просто уравнение, отвечающее колебаниям в идеальной
жидкости. Его можно решить при помощи рядов по степеням а2. При этом мы
получим два независимых решения:
Определив два независимых решения для /<°), получим дальше любое /(*> при
помощи квадратур.
При конкретных расчётах достаточно бывает ограничиться функциями /(0).
Уравнение (3.11) можно рассматривать в комплексной плоскости у (см.
сноску на стр. 669) и считать, что aR, a — комплексные числа, а U (у) —
аналитическое продолжение функции U, определённой лишь для действительных
у. Тогда / будет целой функцией от aR и aR = оо будет особой точкой (если
/ зависит от aR). Поэтому ряды (3.16) суть асимптотические ряды (или
полиномы) по 1/aR. Далее, решения (3.17) будут целыми функциями от а2 и
ряды (3.19) равномерно сходятся для любой конечной области комплексной
плоскости а2, для закреплённого у, за исключением того случая, когда у =
ус. В точке у — ус уравнение (3.17) имеет логарифмическую особенность, и
это затрудняет выбор пути интегрирования от 0 до у в (3.20) (при
интегрировании приходится переходить через точку, где U — с). Выбор этот
/Г (У) = (и — с) (у) + o?h2 (у) -)- а4Л4 (у) + . . . ],
(3.19)
/<°> (у) = (U - с) [k, (у) + О.Ч, (у) + а% (у) + • • • ]
(0) /,>ч __ гг/
где
К (У) = 1 -
У
У
Агя+гОО = / (и — с? / (и — с)2 h2П (У) dy аУ
о
Lo
У
(3.20)
у
У
Л2я+з(У) = / {ц[_с)2 /{-LJ — c^h*n+iCy)dy dy.
o' ' LO
устойчивость течения между пластинками
673
получается путём сравнения, с асимптотическими представлениями для
больших aR точных решений полного уравнения (3.11). К этому мы вернёмся
ниже, а сейчас построим другую пару решений уравнения четвёртого порядка
(3.11) непосредственно для больших 1/aR.
На этот раз будем искать / в виде
f = e$gdy. (3.21)
Тогда для g мы получим следующее нелинейное уравнение:
(U — C)(g2 + 5r'_a2) —U" =
= — U4 + 6gV + 3g'2 + 4gg" + g'"—2a2(g2-f g') -j-a4}. (3.22)
Представим g в виде следующего ряда:
gQ) = l^R^oW + ^y) + Tj7=?r2(y) + -jr?r3(y)+ ••• (3-23)
у aR aR
Мы получим тогда уравнения:
(U — с) gl = — igt;
(U — с) (g'Q + 2gogl) = — i (4 glgx -+- 6g2^);
(U — c) (g[ + g\ + 2gQg2 — a2) — U‘" =
— — I (4gjjff2 + 6.?20^2 + 6g\g[ 4- 12gQglg'Q 4- 3g'* 4- 4g0g" — 2a2g-
2)-
(3.24)
Последовательно, без интеграций, мы можем определить отсюда все наши
функции. Выпишем первые две:
^ '
g0=±Vl(U — c), (3.25)
* 5 0
Два разных знака перед корнем отвечают двум независимым решениям. Для
(3.17) точка у~ус была логарифмической; теперь это — алгебраическая точка
ветвления. Мы можем положить для конкретности arg/ — ^- и считать для
7/>carg(t7 — с) > с; будет ли
затем arg(U—с) = 4~~ или arg(U~c)— — л лля отрицательных U — с, мы сможем
сказать лишь после рассмотрения полного решения (3.11), о котором мы уже
упоминали выше.
Используя функции g, мы можем, таким образом, написать и вторую пару
независимых решений уравнения (3.11); назовём эти решения /3 и /4. Если
ограничиться лишь первыми двумя членами в разложе-
43 Теоретическая гидромеханика, ч. II
674
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. III
нии (3.23), можно написать:
f Y(*R (U-c)dy
f9 = (U-cf*e yc
(3.26)
у
5
+ J VUR (U-с) dy
fi = (U — c)~ 4 e
Как же построить теперь то полное решение (3.11), о котором мы уже
несколько раз упоминали и которое мы дотжны знать, чтобы найти поведение
функций / около точки у = ус и решить вопрос о путях интегрирования в
(3.20) и (3.26)?
Чтобы установить поведение (3.11) около точки у — ус, введём сперва новое
независимое переменное т) из соотношения
{U — с) if — a2e2x) — z2U"x — — -?72 (ZlV — 2а.Ч2х" -f а4е4Х). (3-28)
причём функции U — си U", участвующие в качестве коэффициентов, будут
представляться рядами:
у — ус = S7j, где e = («R) з.
Если обозначить
(3.27)
/(У) = Х(71). то уравнение (3.11) перейдёт в следующее:
(3.29)
(3.30)
Теперь можно искать решение в виде ряда, расположенного по степеням е:
/ (У) = X ('П) = Х(0) (т/) + ?Ха) С7!) + $2X(2) С7!) И" • • • (3-31)
Уравнения для х(0). Х(1)* ••• будут:
УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ МЕЖДУ ПЛАСТИНКАМИ
675
где Ln_l(y) — линейная комбинация из х(0). •••. Х(л_1)> U и их ПР0'
изводных; в частности,
Уравнение (3.32) имеет следующие четыре независимых решения:
X(i0) — V-
т. Т1
Х.30) = / drl / V rt Н± ( |-(/а0^)Т) drh
СО СО 2
г, г
ХС40) = / dri f У Г( Я1 (-f^O7)) 2 ) X
где
(3.34)
(3.35)
(3.36)
а Я] и Н{1 —функции Бесселя порядка 1/3.
"з Т
Следующее приближение мы получим в виде
т 71
l\n) d'n / d'n { Х40)” / xf Vi drl — xf" / xf" Vl O'!) ^} •
Сходимость рядов (3.31) будет обеспечена коль скоро будут сходиться ряды
(3.29), (3.30). Заметим теперь, что аргумент функций Бесселя может быть
записан, если вернуться к старому независимому переменному, по (3.27) и
(3.36), в виде
3 „ 3
,(2)
(ia0ri)2 — ~ (/)2 VaRU'c(y — ycf
так что при больших значениях aR аргумент этот будет по модулю велик.
Поэтому, желая обследовать поведение функции х при больших aR, мы можем
использовать асимптотические разложения функций Бесселя.
Предыдущая << 1 .. 160 161 162 163 164 165 < 166 > 167 168 169 170 171 172 .. 183 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed