Теоретическая гидродинамика. Часть 2 - Кочин Н.Е.
Скачать (прямая ссылка):
члены и отбрасывая члены второго порядка малости: д Дф' дФ д Дф' дф'
д ДФ . дФ д Дф' дф' д ДФ
dt дх ду дх ду ду дх ду дх т ~U‘
В случае движения между двумя параллельными стенками W не зависит от х
(ось х направлена параллельно стенкам), а в случае пограничного слоя
можно считать, как всегда, что производные от Ш по х малы в сравнении с
производными по у (ось х направлена вдоль границы). Напротив, производные
от возмущений ф' по х и у, конечно, будут иметь одинаковый порядок
малости. Таким образом мы можем написать вместо предыдущего уравнения:
(3.3)
') Движения между параллельными стенками, из которых одна неподвижна, а
другая движется, исследуются аналогичным образом.
2) Squire J. L. (Proc. Roy. Soc., London А, 142 (1933)), показал, что
трёхмерные возмущения того типа, который мы будем рассматривать, более
устойчивы чем двухмерные, поэтому наиболее важные черты в проблеме потери
устойчивости можно уловить, изучая двухмерную задачу.
668
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ. III
где U {у)— скорость основного потока, отвечающая тому значению лг (пусть
это будет х = х0), в области которого мы изучаем устойчивость потока:
U(y)=— (g’ У),
a U" (у) — вторая производная от U по у.
Решение уравнения (3,3) будем искать в виде:
<j/ = f(y)e Чах-bt)'
Для / получим, очевидно:
(u ~ I)(/" ~ a2f) ~ =~ т </IV - 2a2f"+(3-4)
Величину а всегда будем считать действительной (рассматриваем волны длины
2тг[а вдоль оси х)\ величина b может быть комплексной: , . ,
Ъ = bT~\- ibj.
Если будет bi < О, У будет затухать во времени, и движение будет
устойчиво; при > 0 движение неустойчиво; bt = 0 даёт нейтральный случай.
Наше уравнение (3.4) — четвёртого порядка и мы должны решать его при
четырёх краевых условиях. В случае I, когда движение происходит между
плоскостями у = 0, у = 2h, нам надо поставить условия прилипания к
стенкам, т. е. (v'x = v' —Qj;
/(0) = /'(0) = /(2А)==/'(2А) = 0. (3.5)
В случае II, когда изучается устойчивость пограничного слоя, будем брать
кроме условия прилипания к стенке
/(0) = /'(0) = 0 (3.6)
ещё условие обращения решения вне пограничного слоя в решение для
идеальной жидкости. В идеальной жидкости v = 0 и (J" — 0 и (3.4)
переходит в уравнение
— = О,
имеющее решением / = const. е±ау. Решение типа const. еау мы должны
отбросить как неограниченное на бесконечности: значит, должно быть /—
const. Итак, если границей пограничного
слоя будет у — И, мы должны потребовать выполнения условия
f'(h) + af{h) = 0. (3.7)
Кроме того, мы должны потребовать ограниченности / на бесконечности.
Для удобства решения задачи введём безразмерные величины х, у, t, U при
помощи равенств
x = hx, y = hy, t = U = UmU. (3.8)
U m
УСТОЙЧИВОСТЬ ТЕЧЕНИЯ МЕЖДУ ПЛАСТИНКАМИ
669
Здесь h — характерная длина — половина расстояния между пластинками в
случае I и толщина пограничного слоя в случае II; Uт — характерная
скорость основного движения, за которую мы примем максимальную скорость в
случае I и скорость на границе пограничного слоя в случае II.
Обозначим
“л=”? -жи=с- -?-=R- ЗД
Тогда <]/ мы можем взять в виде
ф' = /(у)е‘'м5-г0, (3.10)
и уравнение (3.4) примет вид:
(3.11)
Краевыми условиями задачи будут:
в случае I
/ (0) = f (0) = / (2) = /' (2) — 0, (3.12)
в случае II
/(0) = /'(0) = 0, /,(1) + «/(1) = 0. /(со) < со. (3.13)
Ход решения нашей задачи об устойчивости можно представить далее
следующим образом.
Уравнение (3.11) содержит кроме заданной функции U (у) ещё три параметра
с, a, R; два из них: а и R характеризуют длину волны возмущения и число
Рейнольдса основного потока соответственно и суть величины
действительные; третий — с — может быть, вообще говоря, комплексной
величиной. Четыре линейно независимые решения уравнения (3.11) в случае I
должны быть связаны однородными соотношениями (3.12); три конечных на
бесконечности линейно независимых решения того же уравнения в случае II
связаны тремя однородными условиями (3.13). Вековое уравнение,
получающееся в том и другом случае, будет связывать три параметра a, R и
с соотношением вида
F(c, a, R) == 0.
Решая это уравнение относительно с, мы получим *)
с —с (a, R).
') Возможность решения относительно с векового уравнения получается как
следствие того факта, что функция F будет целой функцией от своих трех
переменных. В самом деле, будем в уравнении (3.11) считать у комплексной^
величиной, так же как и все три параметра a, R, с. Примем Для U (у),
которая определена лишь для действительных значений у, для Других
значений — аналитическое продолжение. Тогда уравнение (3.11), для
670
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ
[ГЛ, III
Отделив действительную и мнимую часть с (= с,-}-гс?), получим далее ст —
сг(a, R) и сг = сг(а, R). Кривая
сг(а, R) = 0 (3.14)
будет отделять область устойчивости от области неустойчивости.
Задача определения характеристических чисел, связанная с решением
уравнения (3.11), была предметом исследования ряда авторов. Одними из
первых были Орр !) и Зоммерфельд2), которые исследовали устойчивость
