Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
звуковые и ударные волны движутся в неоднородной среде, параметры
которой, в свою очередь, определяются движением и диссипацией этих же
волн. Здесь мы и приведем некоторые приближенные аналитические решения
этой задачи.
Как уже отмечалось, условием образования ударной волны является
превращение гребня волны в вертикальный фронт. При этом, если волна
граничит с покоящимся газом, выполняются следующие условия:
ди ди . - .
= 0. (26.4)
(-) -°-
V а" /"-О
Эх ЭГ
Линеаризированное уравнение неразрывности (25.25), если смещение
? и малы, можно записать в виде
Э t
р (1 + div ?) = р!. (26.5)
Необходимость в нелинейной трактовке возникает тогда, когда в уравнениях
газодинамики квадратичный член становится одинакового порядка с линейным.
При этом в уравнение неразрывности можно ввести член второго порядка (Э.
Шацман, 1964), так что
Р = Pi (1 - div ? + (div ?)2 ] . (26.6)
5 р
Условием превращения волны в ударную является ------------^ 1 или
|div ? | = 1. Р (26.7)
Поэтому в случае изотермической атмосферы из (25.27) и (26.7) следует
I div ? | = -^ ?0 ехр ( 777- ) = 1, (26.8)
где Ls - расстояние, пробегаемое звуковой волной до ее превращения в
ударную. Так как со?0 = равно амплитуде скорости источника, возбуждающего
колебания, то
Ir = 2Н In . (26.9)
Ц)
В атмосфере Солнца з= 7,1 км/с. Принимая и0 = 0,5 км/с, находим, что Ls ^
7,3 Н. Из (26.9) следует, что чем больше амплитуда скорости и0, тем
меньший путь проходит волна до ее вырождения в ударную.
166
С.А. Каплан и Л.А. Островский (1963) разработали метод расчета условий
превращения звуковых волн, движущихся в неоднородной атмосфере, в ударные
волны при любом законе распределения плотности и температуры, если только
длина звуковой волны много меньше масштабной высоты (А</У), а сами
возмущения невелики. Суть метода заключается в следующем. В случае
однородной среды вертикальное движение плоской волны описывается
уравнением
Z- = f(u).
и +а
При движении волны в неоднородной среде скорость и будет изменяться и за
счет изменения плотности. Это изменение можно записать в виде закона
сохранения потока энергии, который при Т= const примет вид
Ро "о = Р И и2 (z) = р (у) и2 (у), (26.11)
где у - промежуточная высота (0 <у <z). В случае неоднородной
изотермической среды по аналогии с (26.10) решение для бегущей волны
можно представить в виде
г dy
t-f ------------------7~T7v~ =f [и {р (г)] '/j ].
о
а +и (z)
PW\'Л (26.12)
Р (к)
Так как и <а и p(z)<^p(y), то, разлагая подынтегральное выражение в ряд,
находим
z и г dy
f +- tp (*)) / | у = f [и [р (г))*].
а а2 о [р(у))/г (26.13)
Это решение и описывает движение газа в волне при ее распространении в
неоднородной изотермической атмосфере. Hpnz = 0 оно должно удовлетворять
граничному условию
и = и0 sin сot. (26.14)
Тем самым определяется вид произвольной функции
f =
1 Г и р (z) 1
arcsin . (26.15)
со L и0 L ро 1 J
В итоге нетрудно из (26.13) получить длину пробега волны Ls fs | Ро 1
2а2
f "Tv dy=~t ^-------------------- =L°- (26-16)
о L P (к) I (7 + 1) U0 CO
Здесь L0- расстояние, пробегаемое звуковой волной до ее превращения в
ударную в среде с постоянной плотностью. Оно зависит как от начальной
амплитуды, так и от частоты волнового движения. Если плотность меняется с
высотой по экспоненциальному закону, то
- I
гн I
Ls = 2/Vln 1 +----------- . (26.17)
2Н 1
167
В частности, при П = 100 с, со = 6,3 -10 2, Н = 100 км имеем L{) ^ ^ 1200
км ^12/У и^ 3,9 Н.
Итак, из (26.9) и (26.17) следует, что звуковая волна превращается в
ударную на протяжении нескольких масштабных высот. Если же температура в
атмосфере с высотой возрастает, как это имеет место в хромосфере, по
закону Т- Т0 еа:, то для Ls будет верным такое соотношение:
*н Г U ]
Ls ---------In 1 + (2 - 5аН) - . (26.18)
2 - БаН L 4АУ J
При достаточно большом положительном (а> 0) градиенте температуры LS^L0.
Если же градиент температуры отрицателен (как это имеет место в
подфотосферных слоях звезды), то длина пробега волны до ее превращения в
ударную будет существенно меньше, чем в изотермическом случае. В
частности, сильные бегущие волны сжатия образуются при пульсациях звезд.
Соотношение между давлением в месте возникновения бегущей волны р, и
давлением ру в месте ее превращения в ударную было получено С.А. Капланом
(1962) из следующих соображений.
Пусть бегущая волна движется в звездной оболочке, состояние которой
описывается соотношениями
gh
Т= . р- Т",
(п + 1) А
где h - глубина, отсчитываемая от поверхности звезды, д - ускорение силы
тяжести, п - индекс политропы. Введем лагранжеву координату
m =/ pdh ~ Т"+ \
О
так что в стационарном состояниир, = дт. Если возникшее движение считать
адиабатическим, то давлениери удельный объем V связаны соотношением 1
prV=yB'1, (26.19)
где В - постоянная, определяемая начальными условиями
asj и Pi - скорость звука и давление в состоянии равновесия. Если далее п
+ 1
7 =-------- , то параметр В не зависит от т. Это означает, что
