Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
движений и условий их распространения в-неоднородной атмосфере звезды:
звуковых и внутренних гравитационных волн. Напомним, что в условиях
звездных атмосфер на каждый фиксированный элемент газа при его отклонении
от положения равновесия действует несколько сил. Это сила упругости,
возникающая при сжатии среды, далее - сила плавучести (архимедова сила),
обусловленная неоднородностью атмосферы, и, наконец, сила тяжести. При
адиабатическом перемещении элемента газа по вертикали его плотность будет
отличаться от плотности окружающей среды, разность же действующих сил -
архимедовой и силы тяготения - вынуждает этот элемент газа возвращаться
(в случае конвективно устойчивой среды) в исходное положение. Поэтому в
среде возникают колебания относительно положения равновесия. Если в
неоднородной атмосфере отклонения давления и плотности от их равновесных
значений связаны между собой адиабатическим соотношением
dp 7 dp
- = а2 , (25.1)
dt dt
то линеаризованные уравнения газодинамики сводятся к виду (D.W. Moore,
Е.А. Spiegel, 1964) :
Эи
Эр'
dt
+ р, ug + Pi a2 div и = 0.
(25.4)
Здесь Р| и р, - равновесные значения давления и плотности газа, р' и р -
приращения (р' <§р,, р' ^ р,). Уравнение (25.4) следует из (25.1) при
учете (25.3) и условия гидростатического равновесия VPi =P\g-Предположим,
что координатные оси х и у расположены в горизонтальной плоскости, а ось
z направлена вертикально в направлении действия силы тяжести (вниз).
Исключая из (25.2) - (25.4) величины р и р, находим после несложных
преобразований следующее уравнение для х= div и:
Э X 9 г4
- а А
Э2 X Эг2
/ da2\ Эх Vff+ dz )'bt2bz
(7-1) fl1-
rfa2]
- j^x-o.
(25.5)
где введено обозначение
э2 э2
Д.
Эх2
Эу2
причем одновременно выполняется также соотношение
Эг
rot и =
da2
dz
Э
Ъу
div и.
(25.6)
Здесь / и у - единичные векторы в направлениях х и у соответственно. Из
последнего соотношения следует, что возникшее движение будет безвихревым
лишь в двух случаях: 1) если у = 1, а = const, что возможно при
изотермическом движении в среде с постоянной температурой, и 2) если
выполняется условие
dT 7-1
dz 7 А
которое и имеет место в случае конвективного равновесия. Вводя переменную
Ф=р'\Х = р'\ d>v И,
сводим уравнение (25. 5) к виду
д2 ф da2 д3 ф
-f ----- ------
dz dzdt2
а2 А
7V Ъ2ф Г
4а2 ~д? Ч
9f
da
dz
-(7-1)ST
А, ф-
д4ф
bf
В случае изотермической атмосферы (а щается. Так, получаем
Э2 ф у2д2 Э2 ф
и*1'-''"'"'*-
(25.7)
const) оно существенно упро-
а А
Э
Эг4
= 0.
(25.8)
Будем рассматривать движение среды как простое гармоническое колебание,
при котором величина х изменяется по закону
Ф
где со - круговая частота, к - волновой вектор с компонентами кх, ку, kz.
Проводя обычное в таких случаях дифференцирование и подставляя произ-
157
водные ф в (25.8), находим дисперсионное характеристическое уравнение
= [а2со2 - (гу - 1)д2] (к2х + к2) + а2со2к] . (25.9)
7 V
4з
Анализ этого уравнения приводит к следующему важному выводу: при
действительной частоте со уравнение (25.9) может иметь действительные
решения для волнового числа к при со > со{ или же, если со< со2. где
уд з
соI = --- =---- , (25.10)
2з 2 И
\/у - ig \/у - 1 а
сог =- - ----------------------------------- (25.11)
а у Н
а2
Здесь Н = ^- - высота однородной атмосферы (при Т= 6000 К,
з=9 км/с, <7 = 274 м/с2 имеем /У = 180 км). Величина со2 называется
частотой Брунта - Вайсала. Колебания с частотой со2 < со < cj, ,
возникающие в атмосфере, не могут распространяться в ней, поскольку в
этом случае не существует действительных к, удовлетворяющих (25.9). В
самом деле, при мнимом к (к = -/к) закон изменения величины х примет вид
X^е~КГ е,и>т, где первый множитель и определяет уменьшение амплитуды с
расстоянием.
Были проведены расчеты основных характеристик движения вдали от источника
возмущений, в частности, поверхностей постоянной фазы (D.W. Moore, Е.А.
Spiegel , 1964), задаваемых условием kr = const. Как оказалось, npncj>cjj
поверхность постоянной фазы близка к сферической,
отклонение же обусловлено гравитационным притяжением.
со
В данном случае фазовая скорость 6/ф = -- = з, как это и должно
быть для обычных звуковых волн. Поэтому колебания с частотой со > cj,
рассматриваются как звуковые (акустические) волны, модифицированные
гравитацией.
Для частот со < со2 колебания могут распространяться лишь в пределах
со
угла a = arcsin , отсчитанного от горизонтали. Если со -* 0, то a -+ 0
СО 2
- движение происходит вдоль горизонтали, причем основным фактором
Vt- 1а
здесь является сила тяжести. Фазовая скорость движения равна-------------
--=
/у _, ' У
- "V ----- дН- Известно (Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, 1954), что вели-
7
чиной \fgfTописывается фазовая скорость внутренних гравитационных волн в
канале с глубиной h. Таким образом, волны с частотой со < со2 являются
внутренними гравитационными волнами, модифицированными сжимаемостью
среды.
В простейшем случае изотермического движения (7=1) из (25.9) следует, что
