Ударные волны в оболочках звезд - Климишин И.А.
Скачать (прямая ссылка):
помельче, и задача решается повторно на новой сетке.
6. Применение полностью консервативной схемы к расчету распространения
ударных волн в атмосфере Солнца. В заключение в качестве примера
рассмотрим особенности численного решения задачи о распространении
ударных волн в атмосфере Солнца (А.Г. Косовичев, Ю.П. Попов, 1979).
Как уже отмечалось, движения газа в атмосфере на высотах много меньше
радиуса звезды можно рассматривать в плоской геометрии с постоянным
ускорением силы тяжести. Соответствующая система уравнений газодинамики
имеет вид
Эх ди дР Эх 1
Э t dt ds ds p
dE du RT
- =-P--------, P=RpT, E =---- .
ЭГ ds 7-1
Здесь x - переменная Эйлера - высота над уровнем фотосферы, f
(24.15)
СМ0
ускорение силы тяжести, R-газовая постоянная. Обратим внимание на
несколько отличный от предыдущего выбор лагранжевой координаты: ds = pdx.
Начальные термодинамические функции в такой постановке определяются
заданием некоторого распределения температуры Т (s, 0), взятым из какой-
либо известной модели атмосферы, и уравнением гидро-
151
V,km/c
V, к м/с
т-т1%юи К
Рис. 49. Профили скорости и температуры при движении ударной волны,
возникающей в атмосфере Солнца под действием движущегося со скоростью 1
км/с поршня для трех значений параметра а:а~-0,5 (сплошная линия), а ~ 0
(прерывистая линия) и а-1,0 (штрих-пунктир), 7", -начальная температура.
статического равновесия
ЪР Ъ s
f. Считается также, что в начальный мо-
мент газ покоится: u(s, 0) = 0.
Рассмотрим аппроксимацию системы (24.15) двухпараметрической разностной
схемой:
'(и> (24.16)
xt = иv ut = -д[^ -f, д = Р + со,
1
Р
Р - R р 7", Е =
R Т 7 - 1
(24.17)
(24.18)
(24.19)
(24.20)
Выясним, как в данной разностной схеме обстоит дело с законом сохра-
152
Рис. 50. Профили скорости на момент времени f=150 с, если а=1, 0=1, при
двух значениях коэффициента искусственной вязкости 4 {/) и м = 1 (2) .
7. км/с
нения полной энергии, который в дифференциальной форме имеет вид
и2 \ Ъ(Ри)
?*т+'*--- • (24-2,>
Э
Эг
~ 17.0
Г100 / 'I2
Г 80 / / i i 1
\-60 if 1 i i
~:40 j j i
:го -t-1. .1.1 и а/ i i II . 1.1.
10 х,108см
Суммируя уравнение (24.19) с уравнением (24.17), умноженным на u^°'s\
получаем с помощью алгебраических преобразований
(Е + 0,Би2 +fx)t =
=_ _ 1))_ + 5е, (24.22)
где 5е = (а - 0,5) т fut. Уравнение (24.22) является разностным аналогом
дифференциального закона сохранения (24.21). Видно, что в общем случае
этот закон нарушен за счет фиктивного источника энергии 5е разностного
происхождения. При о: = 0,5 получаем полностью консервативную разностную
схему.
Целесообразность использования полностью консервативных разностных схем в
задачах гравитационной газодинамики иллюстрирует пример расчета задачи о
распространении ударной волны в атмосфере. В простейшей постановке
ударная волна возникает в результате действия поршня, расположенного в
основании атмосферы и движущегося вверх (против направления
гравитационной силы) с постоянной скоростью u(t) = const. Двигаясь по
среде с убывающей плотностью, ударная волна увеличивает свою амплитуду.
Течение газа за фронтом ударной волны тормозится силой тяжести, и в
результате формируется зона разрежения за фронтом.
Для расчета использовалась неявная разностная схема (/3 = 1). Система
разностных уравнений решалась итерационным методом Ньютона с применением
прогонки (§ 23). Для сквозного расчета ударных волн применялась
квадратичная искусственная вязкость. Значение а варьировалось: а = = 0;
0,5; 1.
На рис. 49 приведено сравнение разультатов расчетов при различных
значениях а. Представлены профили скорости и температуры для двух
моментов времени Г = 100, 150 с и для а = 0; 0,5; 1. В момент времени t =
150 с результаты расчетов при различных а существенно различаются. Видно,
что в случае а = 1 ударная волна имеет большую энергию, а в случае а = 0
- меньшую. Это соответствует тому, что фиктивный источник энергии
принимает положительное значение в первом случае и отрицательное во
втором. Расчеты также показали, что влияние дисбаланса 5е, имеющего
порядок величины О(т), уменьшается при уменьшении шага сетки по времени.
Мощность источника пропорциональна ut и, следовательно, зависит от
величины размазывания фронта ударной волны на разностной сетке. Ширина
фронта ударной волны в свою очередь определяется значением коэффициента
искусственной вязкости. Расчеты показали, что в случае а = 1 с
уменьшением коэффициента искусственной вязкости энергия ударной волны
увеличивается, так как возрастает величина дисбаланса 5е (рис. 50). В
случае же полностью консервативной разностной схемы (а = 0,5) положение
фронта ударной волны не зависит от величины размазывания фронта.
Эти результаты позволяют сделать вывод, что использование не полностью
консервативной схемы в задачах такого рода может заметно ис-
153
казить решение за счет действия фиктивных источников энергии, имеющих
чисто разностное происхождение. Отметим, что в данной задаче полностью
