Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
c2a4x'sadS = P(l)dq. (32.11)
Эта формула справедлива также для случая IaIa = 0.
33. Ориентация волновых фронтов
а. Рассмотрим в точке х на 2 ненулевой удар Y0 —> Уі, который не является ударом Альвена, и положим Zo=O(Yo), Zi=O(Yi). Пусть m — тангенс угла наклона сегмента (Z0tZi). Предположим, что IaIa ^ 0; тогда имеем H =? 0 и а > 0; сегмент (Zo, Zi) принадлежит к вполне определенной области 9L.
Если IaIa > 0, то х ^ 0. и можно показать, что вдоль (Z0, Z1) имеем X= (Ci2IlaIa)H ^ 0. Из (32.9) следует, что P(I) > 0. Если IaIa = O, то из (32.10) сразу получаем P(I) > 0. Очевидно, что если IaIa^ 0, то из (32.11) следует, что (dS/dq) ф 0 вдоль (Z0lZi). Из (32.6) вдоль этого сегмента имеем
d2$ = 2f&dS. (33.1)
Ho Ж (Z0, Z0) = Ж (Z0, Z1) = 0, и функция 3@(Z0,Z) стационарна по крайней мере в одной точке сегмента (Z0, Zi); то же са-
мое справедливо для 5 согласно (33.1). Мы пришли к противоречию. Следовательно, IaIa < 0.
Теорема, При условии х'р < 0 любой фронт 2 магнитогидродинамической ударной волны ориентирован во времени. Если Pjf и yf есть скорости 2 относительно жидкости до и после удара, то v$ < с и vf < с.
б. Согласно лемме разд. 31, величина х= 'Ф2 положительна; скаляр (31.6) можно записать в виде ^iai = г|5о«о и вместо условия (32.2) написать
г|кх = Ijja0. (33.2)
7*
і 96
А. Лихнерович
Условие Гюгоньо можно, следовательно, записать в виде
Яв (Zo> Z) — °2 (f2 ~~ П) — (т + то) (р ~ Po) +
+ (т-т0)уц(і|)-і|)0 ?. (33.3)
а. Относительно уравнения состояния х = х(р, S) будем считать справедливыми следующие предположения:
(H1) Tp < 0 и т?>0;
(Яг) Xfs ф 0, и существует функция S = S(p,x), единственной обратной функцией которой является т = т(р, S).
Известно, что Tp < 0 эквивалентно v < с; неравенство х'рг > 0 есть условие выпуклости, связанное с устойчивостью гидродинамических ударных волн относительно обычных волн; предположение H2 выражает тот факт, что жидкость допускает две фундаментальные термодинамические переменные.
Израэль и Люквио [10] показали, что для больцмановского газа с необходимостью имеют место неравенства Tp < 0, т?•> > 0, Ts > 0. Нас будет интересовать также случай т& < 0, который может иметь место для конденсированного вещества. Из
(27.4) в переменных р, S имеем
Рассмотрим удар V0->Уг, точки Zo=O(Fo) и Zi=O(Ki) связаны соотношением Гюгоньо, симметричным относительно перестановки О, I. В силу (31.2) полагаем S1 ^ S0.
б. Положим S1 =So. Если р\ ф ро, то можно предположить, например, что ри> Po. Тогда T1 < то, поскольку Tp < 0. Из
(34.2) получаем
Тогда условие Гюгоньо дает Ti > т0, т. е. приводит к противоречию. Таким образом, Pi= Po, и наш удар либо равен нулю, либо является ударом Альвена.
34. Термодинамические неравенства
C2Ifp = V > 0, CTs = Q > 0.
(34.1)
Отсюда можно получить соотношение
C2U2Yp = 2т.
(34.2)
5. Теория относительности и математическая физика
197
в. Рассмотрим удар с Si > So и положим р\ ^ р0. В результате имеем
pi
C2 if2 (Pu S1)-р (Po, S1)) = 2 J х(р, S1) dp >2tj (P1-P0),
Po
и как следствие
C2 (/? - /о) - 2tI (Pi - Po) > О-
Из соотношения Гюгоньо получаем Tl < то. Следовательно, из Pi Po вытекает Tl < то.
г. Положим Ts < 0. Рассуждая, как в п. б, можно показать, что в этом случае из pi < р0 также следует Ti < то.
д. Положим Xs > 0. Te же рассуждения показывают, что Pl > Po- Имеем теорему.
Теорема, I. Для неальвеновского удара, согласно предположениям (Hi), (H2), имеем
Sl > S0, Tl < т0. (34.3)
2. Кроме того, если Ts > 0, то
Pi > Рої її > fo> F1 < K0. (34.4)
Из этой теоремы следует, что cti < а0. Можно показать, что ударная волна, которая не является ударом Альвена, совместима с обычными волнами Альвена, только если OClOS0 > 0. Таким образом, есть два типа ударов: медленные удары, для которых си < а0 < 0, и быстрые удары, для которых 0 < Otl < а0 [17].
35. Кривая Гюгоньо и скорости ударных волн
Прямые вычисления дают следующие результаты: 1. Для любой изоэнтропической кривой 91 в SI имеем
(d*q/dr% = -r'p~3M,
где мы положили
M = т" — Зс4цх2а-2т'3 > о.
Таким образом, каждая изоэнтропическая кривая строго вогнута.
2. Пусть А — линия в Si. Имеем лемму.
Лемма. При предположениях (Hi), (H2) в каждой точке Zs кривой А, где S стационарна, имеем
{< (dW/<iT«U (? — (Zs) < 0.
198
А. Лихнерович
а. При заданном начальном состоянии Y0 рассмотрим (как в разд. 33) совокупность Sr состояний У, удовлетворяющих соотношениям
H (Y) = H (K0) = H, фа = ^0O0 (аао > 0).
Если H > О, то линия т = цН/с2 запрещена. Мы рассматриваем на П только участок, определенный в M условием т ^ то. Кривая Гюгоньо Ж есть совокупность точек Z этой области, удовлетворяющих условию ^(Z01Z) =0. Пусть Z1=^=Z0— произвольная точка кривой Ж, а А — линия (Z0lZ1) с наклоном т; кривая M(Z0y Z) стационарна по крайней мере в одной точке Zs сегмента (ZotZl); согласно (33.1), 5 стационарна в Zs, и из рассмотренной леммы следует, что Zs единственна и соответствует (в зависимости от знака ?) либо строгому максимуму, либо строгому минимуму S на А. Таким образом, в Zi имеем
