Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
Для антисимметричных тензоров (или форм) де Рам ввел лап-
ласиан
Af = (dt> + 6d) Т. (41.4)
В этом случае А коммутирует с d и б. В явном виде получаем
W)„, ?/й,п,
^at< aA ... р ... а ... ар’ (41.5)
Определим теперь лапласиан AT произвольного р-тензора по формуле (41.5); соответствующий оператор Клейна — Гордона будет равен А + (а, где ц, = const.
Оператор А обладает следующими свойствами: он является самосопряженным, коммутирует с операцией свертки и с операторами перестановки индексов; вследствие этого он сохраняет возможные свойства симметрии или антисимметрии Т. Если T таков, что VT =0, AT = 0, и если U произволен, то
A(T(S)U) = T (S) AU.
Если тензор Риччи обладает нулевой ковариантной производной, то для любого 2-тензора T и вектора А имеем
б АГ = A ЬТ, VAA = AVA. (41.6)
5. Теория относительности и математическая физика
207
42. Элементарные ядра и пропагаторы
В дальнейшем предполагается, что (Vii д) глобально строго гиперболично; рассмотрим оператор L, определяемый соотношением
LT = ДГ+BpVpr + PT.
а. Имеем следующую теорему:
Теорема,. На глобально строго гиперболическом многообразии (K4, д) существуют два элементарных ядра ± (Xi х') оператора Li т. е. две специальные (р, р)-битензорные обобщенные функции, удовлетворяющие соотношению
LxEV ± (х, Xf) = № (Xi x'l (42.1)
которые для каждого х' обладают своим носителем соответственно в 8+(хг) и 8~(х'). Эти ядра единственны, а также удовлетворяют соотношению
Lx'EW* (Xi xf) = (х9 Xf). (42.2)
Единственность этих элементарных ядер есть частный случай общей теоремы единственности: любая тензорная обобщенная функция Т, являющаяся решением уравнения LT = Q и обладающая компактным носителем по направлению к прошлому или к будущему, равна нулю.
б. Рассмотрим битензорную обобщенную функцию E^h
&р) = ЕМ- — ?<*»+. (42.3)
Для каждого х' функция E^ обладает своим носителем в &(х') и удовлетворяет уравнению
LxEM (Xi xf) = 0, (42.4)
а также
Lx'BpHx, *0 = 0. (42.5)
Обобщенная функция E^ по определению является тензорным
пропагатором оператора L. Если EW — пропагатор относительно L*, то
Е(р) (/, л:) = - ?,р) (*, х'). (42.6)
Если L является самосопряженным, то
(л:', х) = ?<р>* (*, х'), ?<р> (*', х) = - ?<р> (х, х') (42.7)
и ?(р) антисимметрично относительно пары (х, х').
208
А. Лихнерович
43. Пропагаторы относительно оператора А + Ц
а. Самосопряженный оператор Клейна — Гордона А + ц, действует на антисимметричные р-тензоры. Посредством антисимметризации из EM * получаются две би-р-форменные обобщенные функции G'p)±9 удовлетворяющие уравнению
(А* + ц) GM * (х9 xf) = DM (х9 xf) (43.1)
и обладающие теми же свойствами носителей, что и EM±t Разность GM = GM- — GM+ есть антисимметричный пропагатор относительно А + [л, он удовлетворяет уравнению
(^ +V^GM(X9Xf) = O. (43.2)
Если Их и dx коммутируют, то
(А, + ц) dxG™± (х, Xf) = dx6M(x, х').
Ho Hx и 6Х' коммутируют, поэтому имеем
(Ax + ц) f>x'Gip+l)±(x9 Xf) = 6X'frp+\(x9 xf).
Из (40.4) в результате вычитания получаем
(А*+ц)(6x'G^"±(x9 xf)-dxGM±(x9 xf)) = 0.
Тогда из теоремы единственности следует
б x,Gip+v± = dxGM±9 (43.3)
и после вычитания имеем
б x'&P+l> = dxGM. (43.4)
б. Рассмотрим оператор А на 2-тензорах:
(Anafj = - VpVcTap + RapTl + RsipTpa - 2Rap, рооГр°°.
Оператор А + fx действует на симметричные 2-тензоры. Посредством симметризации из ?(2)± получаются две симметричные битензорные обобщенные функции /Ci, удовлетворяющие уравнению
(А* + Ц) К* (х, Xr) = &2) (х, х'). (43.5)
Соответствующим симметричным пропагатором будет К, = К~ — — K+. С помощью рассуждений, аналогичных вышеприведенным, получаем
Ttx К (х, xf) = 2g (*') G(0> (х, х'). (43.6)
Если, кроме того, тензор Риччи имеет нулевую ковариантную производную, то из (40.5) и (41.6) имеем
6Х К (х, х') = DxG^(х, х'). (43.7)
5. Теория относительности и математическая физика
209
Соотношения (43.4), (43.6) и (43.7) играют важную роль при построении коммутаторов тензорных полей.
в. Для пространства-времени Минковского из теоремы единственности следует, что в случае скаляра наш пропагатор совпадает с пропагатором Йордана — Паули Di определяемым в этом случае непосредственно с помощью преобразования Фурье. Если I(XiXr) есть (1,1)-битензор, определяющий в этом плоском случае абсолютный параллелизм, то тензорные пропа-гаторы равны (®P)D. Эти результаты не распространяются на случай искривленного пространства-времени.
44. Коммутаторы для векторного мезона и свободного электромагнитного поля
Пусть (V4i д) — заданное глобально строго гиперболическое пространство-время. Рассмотрим некоторые примеры коммутаторов.
а. Рассмотрим векторное поле, описываемое 1-формой а, подчиняющейся уравнению поля (уравнению Юкавы для поля со спином 1 и массой е2)
6 da = е2а (е2 = const > 0), (44.1)
причем е2 ф 0. В уравнении (44.1) подразумевается, что ба = = 0, и оно эквивалентно системе
(А — е2) а = 0 (А = 6 d + db) (44.2)
