Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
и
ба = 0. (44.3)
Предположим теперь, что а есть 1-форменная обобщенная функция со значениями в векторном пространстве операторов на комплексном гильбертовом пространстве. Построим коммутатор [а(х), a (a:')] (х, x'eV4), т. е. би-1-форменную обобщенную функцию X со скалярными значениями, которая для каждого Xf имеет свой носитель в S(Xr)i антисимметрична относительно (х, хг) и удовлетворяет в точке X системе уравнений поля
(44.2), (44.3).
В специальной теории относительности в наших обозначениях имеем (классически)
[а (х), а (*')] = Y {10 (*• *'> - d*d* D (*’ *')} Id>
где Id — единичный оператор в гильбертовом пространстве, і—(1,1)-битензор, определяющий абсолютный параллелизм в плоском пространстве-времени, a D — скалярный пропагатор Иордана — Паули относительно А = е2.
210
А. Лихнерович
Рассмотрим в нашем искривленном пространстве-времени би-1-форменную обобщенную функцию
X = Gm--^dJx-W 0),
где и G<°> — пропагаторы порядков 1 и 0 относительно А — е2.
Условия для носителя и условия антисимметрии выполняются. Кроме того, (А* — е2)Х = 0, и из (43.4) имеем
6хХ = 6XG<1> - Л dx’AxGM = 6XG(I) - dx-G^ = 0.
Таким образом,
[а (*), а (Xf)] = f { G<» (х, х') - ± dxdx-G^ (х, х')} Id (44.4)
дает коммутатор, совместный с (44.1) и совпадающий в специальной теории относительности с обычным коммутатором. Если положить F = da, то для F получается коммутатор
[F (х), F (*')] « т dxdx’QV{x, х') Id. (44.5)
б. Для свободного магнитного поля получаем уравнение
(44.1) без массового члена (е2 = 0) для вектор-потенциала. Уравнение (44.1) инвариантно в этом случае относительно преобразования электромагнитной калибровки, и можно потребовать, чтобы ос удовлетворяло условию Лоренца ба = 0. Рассмотрим в качестве уравнения для потенциала уравнение
Aa = 0, (44.6)
откуда следует
Аба = 0, (44.7)
и примем для коммутатора потенциала выражение
[<*(*), 0(:01=400)(*, *') Id, (44.8)
где G(l> соответствует оператору А. В результате получаем и*), Sx-Ct(Ay)] = -у 6X'G{1)(x, x')Id = -jdxG(0)(x, х')Ы, а также
[б*а(*), бл-а(х')] = 4А^(°)(д:, х') = 0. (44.9)
Коммутатор (44.8) совместен с (44.6), но не с условием Лоренца. Эта ситуация совершенно аналогична той, которая имеет место в специальной теории относительности. Достаточно подчинить состояния дополнительному условию ба I ф> = 0, кото-
5. Теория относительности и математическая физика
211
рое, согласно (44.7), есть условие, накладываемое на начальные данные задачи Коши.
Уравнение (44.8) дает для электромагнитного поля коммутатор, который формально совпадает с (44.5), причем видно, что этот коммутатор строго совместен с уравнениями Максвелла для свободного поля:
dF = О, 6F = 0.
Действительно, из дифференциального соотношения (43.4) имеем
= AG'2» = AxG^ - bxdxG™ = - bxdxW\
где G(2> — антисимметричный пропагатор порядка 2 относительно А. Из d2 = 0, б2 = 0 можно получить, что этот коммутатор действительно совместен с уравнениями Максвелла.
45. Коммутатор переменного гравитационного поля
Рассмотрим в данном пространстве-времени (V4, д) произвольную вариацию дд метрического тензора, описываемую сим' метричным 2-тензором h (h = dg); мы ассоциируем с h 2-тензор h' = ц (h), причем
ЛаЭ = Аар-ТЛ^ар (Л = ёР%„)-
Тензор Риччи Ra^ претерпевает вариацию, которая, как можно показать непосредственно, дается выражением ^Rafi == АЛар {D6h }ар.
а. При этом условии предположим, что данный метрический тензор д, удовлетворяет уравнениям Эйнштейна
Rafi = ^gafi = Const).
Рассмотрим в (V4, д) поле, описываемое симметричным 2-тензором h, подчиняющимся уравнениям поля
dRafi = Vhafi (ц = const). (45.1)
Метрический тензор д описывает здесь макроскопическое про-странство-время. Мы рассматриваем h как тензор, определяющий микроскопическое гравитационное поле.
Теорию поля h можно построить полностью аналогично теории векторных полей. При этом будут последовательно получаться аналогичные уравнения. Путем вариации свернутого тождества Бианки получаем
-7“К--[^гадр») = М«Юр.
212
А. Лихнерович
Из этого тождества следует, что уравнения поля (45.1) дают
(ц-Л)6Ь' = 0.
б. Предположим, что е2 = 2(|х— Я) ф О (наличие массового члена); уравнения (45.1) эквивалентны системе уравнений
(д-2ц)Ь = 0 (45.2)
6h' = 0. (45.3)
Положим теперь, что h есть симметричная 2-тензорная обобщенная функция с операторными значениями. Построим коммутатор [п(*), h (*')]. совместный с (45.2), (45.3). Результаты Паули и Фирца в плоской теории гравитации, а также аналогия с электромагнитным полем приводят нас к рассмотрению соотношения
[h (*), h (Xf)] = ±{К (X, Xf) -Q(X)Q (Xf) G(0) (х, х% (45.4)
где пропагаторы К, G0, G^ определены относительно оператора А — 2ц. Условия для носителя и условия антисимметрии в (х, х') выполняются. Согласно свойствам А, соответствующим пространству Эйнштейна [формула (41.6)], наш коммутатор
совместен с (45.2). Из (43.6), (43.7) и тождества Риччи полу-
чаем
[h (JC), (*')] = -J- { g (X) dX'GV - -р-?>xdxdx'Gi0)} Id
