Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
MpVaAa + AaVaUp — ApVaMe — MaVaAp = 0. (29.14)
30. Магнитозвуковые волны и волны Алъвена
а. Предположим, что (р, S, н“, Aa) относится к классу (С0, кусочно Ci). Рассмотрим такую гиперповерхность 2, что производные от р, S, иа, Aot могут быть регулярно разрывны (и по крайней мере одна эффективно разрывна) при пересечении 2. Существуют такие обобщенные функции Ьр, 6S, бнр, бАР с носителем на 2, что
6[Vap] = 1*Ър, б [VaS] = Za 55, б [VaHp] = Z0Shp, б [VaA6] = ZaSAp.
Как и в гидродинамическом случае, соотношения (24.9), (24.11) дают
с2Ф(иа1а) + у(и%)Ър = 0 (30.1)
и
(wa/a) SS = 0. (30.2)
Из уравнений Максвелла получаем
нр5 (AaZ0) + (AaZa) Sap - ApS (H0Z0) - (ua/a) SAp = 0, (30.3)
а из системы дифференциальных уравнений для линий тока имеем
(c2rf + u\hf) (waZa) Ы - (g«0 - и*и*) Ia Ьр + '/,ul* SI А р +
+ И {(и\) 51 A P +1 А р 8 {и\)} нр - (лАр5 (AaZa) - ц (AaZ0) SAp = 0.
(30.4)
190
А. Лихнерович
При UaIa = 0 функция 65 может быть не равна нулю, и снова получаются волны энтропии. В дальнейшем мы предполагаем, что UaIa Ф 0 и как следствие 6S = 0.
б. Согласно (29.13), из этих соотношений следует
crfb (AaZ0) + (AaZa) Ьр = 0. (30.5)
Используя (29.7), (29.8), из уравнений Максвелла получаем (uaZa) ue SAfs-5 (AaZ0) = O,
V2 (waZa) 51 A P +1 А р 5 (и\) - (AaZa) 5 (AaZa) = 0, что после исключения u^bhft дает
‘/г (и\Т 51AI2 +1 A I2 (и%) 5 UaZ0) - (AaZ0) 5 (AaZ0) = 0. (30.6)
Наконец, умножая (30.4) на Zg и учитывая предыдущие соотношения, находим
c2rf (UaZ0) 5 (BeZ0) - (g°P - u“uP) Z0Z3 Sp - V2JiZPZpS | А Р = 0. (30.7)
Исключение b\h\2 из (30.6) и (30.7) приводит к соотношению
{Л/ (UaZ0)8 + JiIA I2 ZeZp) (u°/0) S (u°za) - IiZeZp (AaZa) 6 (AaZa) +
+ («X)2 (UX)2 - /%) Sp = 0. (30.8)
В. Теперь предположим, ЧТО Ьр, 6(UaZot) , b(hala) и 61 /г 12 не равны одновременно нулю. Если бр = 0, то из (30.1), (30.5) следует, что 6 (UaZa)= 0, 6 (AaZa)=O и что, согласно (30.6), б|А|2 = 0. Если 6р ф 0, то детерминант трех линейных уравнений (30.1), (30.5), (30.8) должен быть равен нулю. Таким образом, 2 удовлетворяет уравнению
P (Z) s Л-/ (y - I) (uaZ0)4 + (c2rf + (і IA P у) («“/J21% ~
-Ii(AaZa)2ZeZp = O, (30.9)
которое определяет магнитозвуковые волны жидкости. Можно показать, что при предположении х'р < 0 (или v > 1) уравне-ние (30.9) определяет две скорости oMS, vmr, удовлетворяющие неравенствам
Vms < V < Vmr < с. (30.10)
Здесь oA,s — медленная магнитозвуковая скорость, а Vм * —
быстрая магнитозвуковая скорость.
Рассмотрим теперь тангенциальные компоненты 1>Р скорости и компоненты AP магнитного поля относительно 2. Из уравне* ний (30.3), (30.4) следует
(AaZ0) Sye — (uaZa) 86е ~ 0, (30.11)
{c2rf + ц|Л|2) UaZa) Sue - |i (AaZ0) SAe г* 0, (ЗО. 12)
5. Теория относительности и математическая физика
191
где знак ~ означает члены по модулю в Ьр. В случае P(I) ф О эффективная волна получается, только если bk$ отличны от нуля. Приравнивая детерминант уравнений (30.11), (30.12) нулю, видим, что 2 удовлетворяет уравнению
D (I) н* (с2г/ + н I h I2) (и“/а)2 - (г (h\f = 0, (30.13)
которое определяет волны Алъвена в жидкости; уравнение
(30.13) определяет скорость vA (скорость Альвена), которая, как можно легко показать, удовлетворяет неравенствам
VMS < VA < VMR. (30.14)
Волны Альвена порождаются полевыми траекториями векторов
Aa = ^ua+ ha9 Ba = Jtaa-Aa,
где
P= -у/(с2г[ + ц |/г I2)/,и.
SI. Магнитогидродинамические ударные волны
а. Состояние Y системы (жидкость + поле) в точке х пространства V4 определяется значениями величин ру Si u, h (восемь параметров). Магнитогидродинамическая ударная волна есть такое решение фундаментальной системы уравнений в слабом смысле, что существует гиперповерхность 2 (волновой фронт), удовлетворяющая следующим условиям:
I. На обеих сторонах 2 состояния являются Сх-фупщиями
от х, и фундаментальная система удовлетворяется в обычном
смысле.
2. Переменные, определяющие состояния, регулярно разрывны при пересечении 2, и в окрестности 2 фундаментальная система удовлетворяется в смысле обобщенных функций.
Обозначим посредством У о состояние в точке х є 2 до удара, а посредством Y1- состояние после удара. Как и в разд. 21, из фундаментальной системы можно вывести общие уравнения удара
[/•«“]/„ = 0, [AV-aeAe]/« = 0f [Г“р] Ia = O. (31.1)
Добавим к (31.1) предположение
[5]>0, (31.2)
которое является одной из формулировок неравенства Клаузиуса— Дюгема. Системе (31.1) соответствует инвариантность скаляра
а (У) = гиа1а,
192
А. Лихнерович
и инвариантность вектора
Wfi (Г) = {Л + HlAf Г2} Orufi - qf - ц (h\) Лв.
Случай а = О (касательный удар) тривиален, и ниже мы предполагаем а Ф 0.
б. Положим, что в предположении Xp < 0 гиперповерхность 2 с необходимостью ориентирована во времени. Если разложить W& на тангенциальную и нормальную составляющие относительно 2, то получаются скаляр и тангенциальный вектор,, инвариантные при ударе. Из этих инвариантов посредством возведения в квадрат и взятия скалярного произведения можно получить пять скалярных инвариантов удара относительно двух термодинамических переменных и трех скаляров UaIay
