Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
Когда Z переходит от Z0 к Zb величина S убывает от Z0 до Zs и увеличивается до значения Si > S0. Таким образом, А пересекает P0 в точке Za, расположенной между Z0 и Zb Известно, что пг < /По. Следовательно, все точки ф Z0 на 36 принадлежат открытой области, определяемой изоэнтропической кривой P0 и касательной к P0 в точке Z0.
Если 36(Z0tZ) выражается через переменные т, q, то
дЗб/dq = - 2/0т'т'-> + (т - т0) < 0,
и q есть регулярная функция т без сингулярных точек вдоль компоненты связности 360 кривой 36.
б. В дальнейшем мы ограничимся случаем пг0^.0 (существование слабых ударов).
Пусть Zi ф Z0 — точка на 36. Из условий m < m0 ^ 0 и Q(m, Zi) < 0 получаем
(dq/dx)Jfi(Zl) < 0.
Если (dq/dx)Xi>(Zl)^0, то из (32.6) следует
2fQ(dS/dx)S№o(Z1)= — (т, — x0)(dq/dx)^(Zl) + ^1 — &, > 0,
поскольку qi — q0 — т (T1 — то) > 0. Ho очевидно, что усло-
вие (dSjdx)Xi>(Zi) > 0 находится в противоречии с положением
202
А. Лихнерович
изоэнтропических кривых. Поэтому (dq/dxвсегда строго отрицательна, откуда следует, что при возрастании х кривая <3^0 с необходимостью заканчивается в точке Z0. Таким образом, Ж является связной; рассуждая, как в разд. 37, на Ж получаем неравенства
(dS/dx< 0, (dS/dp> 0. (38.1)
Термодинамические неравенства (34,3), (34А) всегда справедливы при условии Ts < 0.
в. Вдоль Ж соотношение (32.6) можно написать в виде
2/0 (dS/dx)„ + (т - T0)2 (dm/dx)M = 0.
Из неравенств (38.1) следует
(dm/dx)x > 0. (38.2)
Пусть Z2 = (т2, cji) Ф 0 — точка на 36, а т2 — тангенс угла наклона (Z0, Z2); поскольку 36 описывается убывающей функцией q = q(т), если т удовлетворяет условию X2 ^ т < то, то существует соответствующая точка Z = (т, q) на Ж\ согласно
(38.2), линия (Z0tZ) обладает таким наклоном т, что
m2 < т < т0. (38.3)
Наоборот, из (38.2) следует, что любая линия, выходящая из Z0 с наклоном т, удовлетворяющим условию (38.3), пересекает
36 в единственной точке Z.
Теорема,. При сделанных предположениях относительно уравнения состояния и при Ts < 0, mo ^ 0 кривая Гюгоньо является связной, и на 36 имеют место неравенства
(dS/dx)M < 0, (dS/dp)M > 0, (dm/dx)ж > 0.
Te же соображения, что и в разд. 37, приводят к теореме:
Теорему Предположим, что Ts < 0, mo ^ 0 (существование слабых ударов) для состояния Уо, удовлетворяющего условию а0Р(1)0 > 0 (или v^R < или V^is < Uq < Uq ) и общим предположениям относительно уравнения состояния. Если Z2 — точка на 36 и если (q2 — <7o)/(t2 — То) =? с2a2/IaIa, то существует единственное нетривиальное решение уравнений удара, для которого либо vf < uf, либо uf < vf. Это решение удовлетворяет термодинамическим неравенствам (34.3), (34.4), а также неравенствам теоремы разд. 35.
Случай т0 > 0 остается открытым.
г. При общих предположениях (H1), (H2) мы решили следующие задачи, т. е. определили
5. Теория относительности и математическая физика
203
1) величины скоростей волнового фронта относительно с\
2) величины этих скоростей относительно магнитозвуковой скорости и скорости Альвена;
3) свойства существования и единственности для нетривиального решения уравнений удара;
4) термодинамические неравенства, соответствующие удару*
VI. Введение в квантовую теорию полей в искривленном пространстве-времени
39. Топологические предположения о пространстве-времени
Пусть (V4i д)—пространство-время класса С°°. Результаты не зависят от этой детали, однако она облегчает математические формулировки.
а. Ортонормированные системы отсчета у = (е0, ві) в (V4i д) являются элементами главного расслоения E(V4) с базой V4, допускающей полную группу Лоренца L (4) в качестве структурной группы.
Если Л = (ZlJf)- матричный элемент L (4), то его полная сигнатура еА равна ±1 в зависимости от знака AetAi а его временная сигнатура рА равна ±1 в зависимости от знака A0. Эти две сигнатуры определяют компоненту L (4), к которой принадлежит А. Полная ориентация е пространства V4 есть геометрический объект, определенный на V4 [относительно элементов E(V4)] посредством такой компоненты гу = ±1, что если у = у А в матричной форме, то гу — гу'гА. Временнйя ориентация р определена на (V4i д) посредством такой компоненты ру = ± 1, что если у = yfAt то Py = PyfPа» Существование пол-* ной ориентации V\ зависит только от структуры многообразия («ориентируемое» многообразие); существование временной ориентации зависит от поля элементарных конусов. Если имеет место полная ориентация е пространства V^ то многообразие допускает только две ориентации: е и —е; аналогично для временной ориентации.
В дальнейшем мы всегда будем полагать, что (V4i д) обладает полной ориентацией е и временной ориентацией р. Временная ориентация определяет на всем многообразии непрерывное поле полуконусов будущего СІ и непрерывное поле полукону-COB прошлого CJ.
б. Временная траектория (V4i д) является кусочно (^-траекторией, для которой полукасательные в каждой точке х находятся внутри или на Cx. Пусть К — множество из V4i тогда будущее &+(К) (соответственно прошлое &-(К)) множества К есть набор точек из V4i заданных временными траекториями,
