Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
{x's(dS/dx)A}(Zs)>0, (35.1)
и из (32.8)
Q(m, Z1X 0.
В частности, Q(AnfZ1) не равно нулю на Ж С другой стороны, {x's(dS/dx)J(Z0)<0, (35.2)
Q (т, Z0) > 0.
Если т0 — тангенс угла наклона в точке Z0 изоэнтропической кривой 9>о, проходящей через эту точку, то имеем
т < m0. (35.3)
б. Предположим, что существует такая точка Z1 є Ж, что
(dS/dx) (Zi) = O. Изоэнтропическая кривая касательна в Zi к Ж. Из (32.7) следует, что луч A=(Z0lZ1) с наклоном т
также касателен в Z1 к этим кривым, и Q(HitZl) =0, что не-
возможно. Таким образом, 5 есть строго монотонная функция х на каждой связной компоненте Ж, и легко видеть, что она такая же, как функция от р.
Пусть V0 —>Уі определяет удар, a Aa — линию (Z0, Zi) с наклоном т. Тогда получаем (35.1) и (35.2), и из (32.8),
(32.4) следует
O0P (I) > 0, afdXO. (35.4)
Геометрически неравенства (35.4) означают, что
W0 = (dqjdx)^ (Z0) > ma, mx = (dq/dt) ^1(Z1) < ma. (35.5)
5. Теория относительности и математическая физика
199
Соотношения (35.4) могут быть интерпретированы в понятиях скоростей ударных волн, а также магнитозвуковых скоростей и скоростей Альвена до и после удара.
Теорема,. При предположениях (Hi)1 (H2) скорости vf и vf волнового фронта Z удовлетворяют неравенствам:
1) для быстрого удара
Ks < vO < V0R < vO ’ < V\ < vT < vIi*'
2) для медленного удара
Vq1s < < V^r9 vf < < vf < V^R.
36. Изоэнтропические кривые и слабые удары
а. Рассмотрим при условии т ^ то в области &t(aa0 > 0) изоэнтропическую кривую 97о, соответствующую S = S0, Вдоль 9*о имеем
(dM/dx)^ = (т — т0) (dq/dx)^ — (q — q0),
и как следствие
(d2S%/dx%, = (х- т0) = -(т-т0) т;-з, M < 0.
Очевидно, что на рассматриваемой дуге кривой ^0
(dmjdx)^ > 0, Ж (Z0, Z)< 0 для Ze ^0, (36.1)
причем 9>0 не пересекает Ж в точке ф Z0.
б. В дальнейшем мы будем считать, что Ж является связной. Рассмотрим временно Ж в окрестности Z0. Прямое вычис-
ление дает
(dS!dx)m (Z0) = О, (d2S/dx% (Z0) = 0.
Таким образом, Ж и SjP0 имеют касание второго порядка в Z0, и (d*q/dx% (Z0) = (d2q/dx% (Z0) = - (х'р~Ш) (Z0).
Легко видеть, что в окрестности Z0 вдоль Ж имеем
S-S0 = {(12/0Г1 Xp-3M} (Z0) (т - То)3 =
= {(12/0)"1М) (Z0) (р - p0f. (36.2)
Очевидно, что при слабом ударе возрастание энтропии Si — S0
имеет третий порядок по отношению к силе удара р\ — р0.
200
А. Лихнерович
37. Случай Ts > 0
а. Предположим, что уравнение состояния таково, что р =
= р(х, S0) -*¦ оо, когда х-*-0. Пусть т0— наклон 9*0 в Z0,
а А— линия с наклоном т, выходящая из Z0, причем
m<m0. (37.1)
Поскольку 9>0 строго вогнута, А пересекает ff’o в единственной точке Za Ф Z0, и из (36.1) следует
Ж (Z0, Za) < 0. (37.2)
Ho S(Z0) =S(Za) =S0, и S стационарна в единственной точке Zs сегмента (Z0,ZA), точке строгого максимума 5 вдоль А. Тогда имеем (dS/dx)A(Z0) < 0, и, следовательно, (d3@/dx)b(Z0) < С 0. При изменении Z от Z0 до Za кривая M(Z0lZ) вначале положительна, и из (37.2) следует, что тогда между Z0 и Za существует единственная точка Zi на А, для которой M(Z0tZl) = = 0. Таким образом, кривая Ж является связной. Из (36.2) для Ze^B окрестности Z0 имеем
(dS/dx)M < 0, (dS/dp)x > 0.
Согласно разд. 35, б, эти неравенства справедливы вдоль кривой Гюгоньо.
Предложение. При Ts > 0 и при сделанных выше предположениях относительно уравнения состояния кривая Ж является связной. Точнее, условию m «< т0 соответствует единственная точка Zi ф Z0 кривой Ж (с аа0>0), для которой т = = (q\ — q0)/(ті — то). На Ж имеем
(dS/dx)^ < 0, (dS/dp)x > 0.
б. Рассмотрим начальное состояние Yo и для a = a(Y0) линию A0 с наклоном та, выходящую из Z0. Положим
та < m0, (37.3)
т. е. аоР(/)о>0 [см. (35.4)]. Любому удару Y0-> Yi соответствует точка Z1 пересечения Ж и Aa. Наоборот, пусть Z1 — точка ф Z0, где А а пересекает Ж. Зная Z1, легко получить единственные значения термодинамических переменных и величин иа1а, Щ1а, I hi Р, удовлетворяющие пяти скалярным соотношениям инвариантности при aia0 > 0.
Теорема, Положим т? > 0 и сделаем обычные предположения относительно уравнения состояния. Пусть Y0 — состояние, удовлетворяющее неравенству <х0Р(1)0 > 0 (или v[fR < , или
5. Теория относительности и математическая физика
201
pMS < уS < vAy Существует единственное нетривиальное решение уравнений удара, такое, что либо vf < uf, либо < vf. Это решение удовлетворяет термодинамическим неравенствам
(34.3) и (34.4), а также неравенствам теоремы разд. 35.
Заметим, что для H > 0 существуют состояния Ко с то > 0, которые могут дать медленные, но не слабые удары.
38. Случай Ts < 0
а. Рассмотрим изоэнтропические кривые q = q(x,S), определяемые (32.3). При фиксированном т величина q убывает с увеличением 5, и мы знаем относительное положение вогнутых изоэнтропических кривых.
Пусть Z1 Ф Z0 — произвольная точка на 36, а А — линия (Z0, Zi) с наклоном m; кривая 36 стационарна на А в точке Zs между точками Z0 и Zu которая является строгим минимумом для S а 36 (Z0, Z). Предположим, что Zi находится в верхней области, определяемой P0-, линия А пересекает P0 в точке Zi4, a Z1 находится между Z0 и Za. При переходе Z от Z0 к Za кривая 36(Z0tZ) убывает от Z0 до Zs, достигая минимума при Zs, и возрастает до 36(Z0, Za), что приводит к противоречию. Таким образом, Zi находится в нижней области, определяемой P0, и изоэнтропическая кривая Pi в Zj соответствует Si >• S0.