Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
rla9u° + r'pu%tp = 0. (28.2)
Из (27.9) аналогичным образом следует, что (uala)bS = 0, т. е.
35 = 0. (28.3)
Наконец, система (27.10) дает
c2rf (uala) 8мР — (gaB — иаи&) Ia S1U = и. (28.4)
Если бр = 0, то Ьи$ = 0. Умножая (28.4) на Zp, из (28.2) получаем
{y (UaIa)2 - (иаи6 - g°») IaIb) Zp = 0.
Если Ьр ф 0, то E с необходимостью удовлетворяет уравнению звуковых волн
P(I) = у (uala)2 — (иаи& — ga&) IaIfi = (y—1) (uala)2 + gaHal^ = 0,
(28.5)
где мы положили Y = c2fr'p. Согласно (27.5), из соотношения P(I)=O следует, что если V есть скорость звука, т. е. скорость S относительно жидкости, то
I--Y- (28.6)
Мы говорим, что 2 ориентирована во времени, или что v < Ct т. е. у > 1; мы будем предполагать это в дальнейшем. Звуковые волны вместе с волнами, обладающими энтропией UaIa = 0, образуют характеристические поверхности фундаментальной системы, которые являются гиперповерхностями, касательными к конусам, определяемым тензором
= (Y — 1) ыа«р + ^ap.
б. Условие Y > 1 легко можно выразить с помощью функции т(р, S). Имеем
w-пи-W-
откуда получаем
с2т'р = O2Vfp- c2V2fr'p,
где, согласно (27.4), c2f'p= V. В результате находим
с2х'р = -K2(Y-I). (28.7)
5. Теория относительности и математическая физика
187
Таким образом, условие х'р < 0 необходимо и достаточно, что* бы было у > 1.
в. Из системы (27.6), (27.8) можно получить систему вида
(16.1) с дифференциальными операторами, соответствующими конусам = 0 и uat,a = 0. Согласно системе уравнений
Эйнштейна (27.7), имеем конус = 0. Нетрудно пока-
зать, что если у > 1» то внутренняя область пересечения этих конусов сводится к внутренней области элементарного конуса. С помощью соответствующих преобразований можно прийти к строго гиперболической системе Лере и как следствие доказать [16] локальную теорему существования и единственности для задачи Коши в случае либо уравнений (27.6), (27.7), либо уравнений (27.6), (27.8).
29. Уравнения релятивистской магнитогидродинамики
а. Предположим, что наша жидкость есть электромагнитное поле с индукцией, описываемое двумя антисимметричными 2-тензорами H и Gf связанными посредством уравнений связи. Здесь H — тензор электрического поля индукции, удовлетворяющий первому уравнению Максвелла
dH = 0 или б (* Н) = 0, (29.1)
где знак * означает сопряжение. Тензор G удовлетворяет вто«
рому уравнению Максвелла
б G = /, (29.2)
где J — электрический ток. Пространственные векторы, ортого-
нальные и:
е^ = UaHa^i Ь^ = иа(*Н) ар,
являются соответственно векторами электрического поля и магнитной индукции, отнесенными к и, т. е. к жидкости. Предположим, что эта жидкость обладает постоянной магнитной проницаемостью |Х, причем
V
где hft — магнитное поле. Электрический ток есть сумма двух членов:
= ае^ + VU^,
где о — проводимость жидкости, а V — собственная плотность электрического заряда.
б. Магнитогидродинамика (МГД) занимается исследованием свойств идеальной жидкости с бесконечной проводимостью о = оо; поскольку ток / есть произведение Ge и поскольку ои
188
А. Лихнерович
существенно конечен, должно быть е = 0. Относительно жидкости электромагнитное поле сводится к своей магнитной части. Известно, что тензор энергии-импульса такого поля дается выражением
=== { I ^ P V2§ap) >
где IЛ I2 = — ЛрЛр строго положительно при Zip=T^=O, Полный тензор энергии-импульса есть сумма Т% и тар; таким образом,
T’ap = (obf + ц IA Р) «а«р — qgaр — цЛ„Лр. (29.3)
где <7 = p + -j|Ap.
Система дифференциальных уравнений релятивистской МГД определяется следующим образом: во-первых, уравнением сохранения вещества
VaH = 0, (29.4)
затем уравнением Максвелла, которое сводится здесь к (29.1), т. е.
Va (u°A6 — ыеА°) == 0, (29.5)
и, наконец, уравнениями релятивистской динамики
V0Fap = 0. (29.6)
В общей теории относительности уравнения (29.6) являются следствиями уравнений Эйнштейна. При этом мы предполагаем, что пространство-время задано.
в. Из уравнений Максвелла путем скалярного умножения на либо на lift можно получить два интересных следствия:
WaWpV0Ap — V0Zi0 = 0, (29.7)
V2UaVaI A f +1 A P VaU0 - AoUeV0Ap = 0. (29.8)
Систему уравнений (29.6) можно записать в явном виде:
Ve (c2r/u“) Up + (c2rf + їх I A р) UaVaUp - су - 1I2Iidfi IAp +
+ ц (иада I A р +1 A P VaU0) Up - (XV0A0Ap - IiAaVaAp = 0. (29.9)
Умножая на иР и принимая во внимание (29.8), получаем
Va (c2r/ua) - и*дар = 0, (29.10)
что приводит к уравнению
I^daS = O. (29.11)
5. Теория относительности и математическая физика
189
Подставляя (29.10) в (29.9) и деля uada\h\2 на 2, получаем систему дифференциальных уравнений для линий тока
^cV/ + ц I А Р) UaVaU6 — (ga& — иаи6) daq +
+ ц (j иада\ A P +1A P VaU“) ир - HVaAaAp - IiAaVaAp = 0. (29.12)
Умножая (29.12) на Ag и учитывая (29.7), получаем простое соотношение
Vo(/Aa)-C-20A45 = O. (29.13)
Фундаментальная система (29.4), (29.5), (29.6) эквивалентна системе, образованной уравнениями (29.4), (29.11), (29.12) и уравнениями Максвелла в явном виде:
