Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
Ho наше исходное ограничение может привести к освобождению от налагаемого на многообразие условия по крайней
4 ^ак 203
98
9. Реками
мере на некоторых особых (не обязательно сингулярных) поверхностях таким образом, что на них геодезические смогут изменять свой тип.
Рассмотрим, например, координаты Шекереса — Крускала (ШК)1), заведомо образующие две системы общих координат для описания (шварцшильдовского) решения уравнений Эйнштейна в случае сферически-симметричного распределения масс. А именно рассмотрим систему координат LUK2) («>, t>>), определенную вне горизонта события (т. е. для г > 2Af; с = = G = I), и систему координат ШК (ы<,и<), определенную для г < 2Af. Мы предполагаем определение каждой из этих систем координат настолько широким, чтобы они охватывали все пространственно-временное многообразие (как вне, так и внутри горизонта события). Тогда можно заключить, что (теперь в единицах с = 2 GM = 1)
v< (-р) = ^[м> (г)]> «<(7) = ^К(г)], г>1, 1<1; (44)
здесь P7 — оператор замены г-»-1/г и умножения всей функции на мнимую единицу. Этот оператор P7 формально тождествен оператору, входящему в (20) и осуществляющему переход от субсветовых систем отсчета к сверхсветовым. Между прочим, оператор & уравнения (20) представляет собой преобразование K = +Ишр-н-оо SLT(p), а точнее трансцендентный буст, который можно получить из уравнений (22) с целью осуществления двумерного перехода (,[196], с. 221)
x-*-x' = t, t -* t' = х. (45)
Заметим, кроме того, что если ввести определения [46, 47, 68, 181]
«нs (IШ - 11 У* exP СTm) ch (if) ’ yIl = (Iw-1I) exp(4M")sh(w)-
так что для г > 2М:
u>=uljt v> = vv то для г<2М получим
и< ~ vV vKsssuV
1J Cm. работы Шекереса [229] и Крускала [123]. Te же соображения могут быть развиты, например, применительно к координатам Финкельштейна и т. п.
2) Для простоты мы выписываем здесь только радиальную и временную
координаты.
4. Теория относительности и ее обобщения
99
Следовательно, переход (при фиксированном /) от r> 2 M кг' = 1 /г < 2М означает обмен ролями и и v:
Ui-+u'= v,, O1-^O7-U11. (46)
Сравнение (45) и (46) снова иллюстрирует ([196], с. 221) формальную аналогию между переходом от системы s к системе S и переходом из внешней во внутреннюю область горизонта черной дыры. В работе де Саббаты и др. [68] сделан вывод, что внутренние координаты ШК (ы<, о<) связаны е наблюдателями, которые движутся быстрее света относительно наблюдателей, связанных (в той же точке) с внешними координатами ШК (ы>, о>). В таком случае мы сталкиваемся с нарушением нашего первоначального предположения и поэтому должны ограничиться, например, выбором повсеместно либо внешних, либо внутренних координат ШК, надлежащим образом обобщенных, или же выбрать просто шварцшильдов-ские координаты. То же самое можно сказать и относительно других координат, например координат Финкельштейна. Подобные соображения получили более формальное обоснование, например, в работе Реками и Шаха [201] в предположении многосвязного многообразия и возможных изменений топологии в пространстве-времени.
При нашем выборе предположений и, следовательно, при наших ограничениях на допустимые общие координаты легко видеть, что свободно падающий (вне горизонта события) бра-дион В станет тахионом T внутри горизонта и наоборот. Черные дыры будут поэтому классическими источниками (и детекторами) тахионов.
Таким образом, расширенная теория относительности, по-видимому, позволяет предположить, что черные дыры, могут классическим образом обмениваться тахионными объектами.
В любом случае нам хотелось бы здесь подчеркнуть, что те же математические проблемы, которые встречаются в специальной теории относительности при распространении преобразований Лоренца на сверхсветовые системы отсчета, присутствуют также и в общей теории относительности, когда требуется осуществить переход извне внутрь горизонта черной дыры. В частности, для несферически-симметричного распределения масс те же затруднения с мнимыми единицами будут встречаться и при рассмотрении сверхсветовых преобразований Лоренца. И снова, по-видимому, здесь могут оказаться полезными методы теории катастроф.
Действительно, при анализе (несферически) возмущенных шварцшильдовских проблем многие авторы [112, 113, 164] вынуждены были предположить существование не зависящих от координат аномальных (или даже сингулярных) поверхностей,
100
Э. Реками
7.2. Различные замечания
А. Начнем с некоторых кинематических соображений. Прежде всего из закона сохранения 4-импульса легко вывести, что тело, находящееся в покое, не может испускать тахионов (в своей системе покоя), если только у него не уменьшается (дискретными порциями) его собственная масса покоя. Это очевидно, например, в случае тахионов с бесконечными скоростями. Действительно, трансцендентный тахион, как известно, обладает импульсом, но не энергией (? = 0; |р| = т0с), так что вследствие закона сохранения энергии он не может быть испущен (или поглощен)1) каким-либо покоящимся телом (если масса покоя этого тела не испытывает «классического» скачка к более низким значениям).
