Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
3. Чтобы примирить точки зрения Эйнштейна и Фан-гаппье — Арчидиаконо, можно использовать установленную Картаном связь между теорией групп и дифференциальной геометрией. С этой, третьей, точки зрения можно задать последовательность «специальных теорий относительности», основанных на группах вращений Rn, и затем связать с каждой из них «общую теорию относительности», обратившись к голономной геометрии (которая допускает Rn в качестве своей группы голономии и, следовательно, является римановой геометрией).
112
Э. Реками
Обратимся теперь для примера к построению «общей теории относительности» на основании проективной теории относительности1). В этом случае необходимо ввести голономное пространство X4 (в общем случае риманово многообразие переменной кривизны), которое допускает группу де Ситтера — Фантаппье в качестве группы голономии. Поскольку эта группа изоморфна одному из вращений S5 (напомним, что под Sn понимается я-мерное гиперсферическое пространство), то можно обратиться к геометрии риманова многообразия V5 (которое как раз допускает группу вращений пространства S5 как группу голономии). Такую геометрию Vb следует интерпретировать на основе проективной дифференциальной геометрии четырехмерного многообразия X4. Известно, что проективная дифференциальная геометрия многообразия Xn допускает в действительности (п + 1)-мерную интерпретацию на основе рима-новой геометрии многообразия Vn+X.
Согласно Картану, пространство X4 с проективной связностью представляет собой пространство, обладающее характером проективного пространства в бесконечно малой окрестности каждой его точки Pf а также проективным (гомографиче-ским) законом связности между окрестностями двух его бесконечно близких точек. Для этой цели необходимо ввести соответствующее поле квадрик Qf помещенных в пространства, касательные к отдельным точкам P из X4 [5, 6]. Если точка P фиксирована, то соответствующая квадрика Q(P) образует абсолют локальной неэвклидовой метрики. Параллельный перенос в римановом многообразии V4 сохраняет изотропные конусы; аналогично проективная связность должна давать проективный закон переноса, который сохранял бы вышеупомянутое поле квадрик Q. После получения определенной таким образом проективной связности можно обычным образом построить проективный тензор кривизны Ра|3 Y6 (а, р, У у 6=1,
2, ..., б), обращение которого в нуль является необходимым и достаточным условием того, что данное пространство будет проективно плоским (т. е. будет обладать постоянной кривизной). Действительно, многообразия постоянной кривизны локально отображаются на эвклидово пространство с сохранением геодезических.
Обращение в нуль риманова тензора кривизны приводит в ОТО снова к пространству-времени Минковского; с другой стороны, обращение в нуль проективного тензора кривизны Ра$уб приводит (в проективной общей теории относительности) к пространству-времени де Ситтера с постоянной кривизной.
]) Вопросы построения ОТО с помощью проективной теории относительности активно рассматриваются Шмутцером [252, 253]. — Прим. ред.
4. Теория относительности и ее обобщения
113
Наконец, тензор PapY6 обладает важным свойством: он включает в себя тензор кручения (вследствие чего Картан назвал его тензором кривизны и кручения). Действительно, в отличие от того, что имеет место в обычных пространствах, обладающих аффинной связностью, пространство с проективной кривизной обладает кручением; это следует из того факта, что группа де Ситтера — Фантаппье (группа голономии X4) распадается (в релятивистском пределе) на вращения и трансляции в S4, к которым относятся соответственно «кривизна вращения» и «кривизна трансляции» (кручение).
8.2. Альтернативный подход
Если мы хотим строго следовать эрлангенской программе в ее физической части, то может иметь место и другой подход [54]. Исследование вселенной де Ситтера (проективная теория относительности) и соответствующих обобщенных уравнений Максвелла подтверждает полезность (помимо теоретикогруппового обоснования физики) обращения к группам вращения Rn я-мерных пространств. Мы видим, что на этом пути достигается последовательность моделей Вселенной, представляемых в виде гиперсфер S'2-1, погруженных в я-мерные пространства En (п = 4, 5, ...); возникает проблема разработки такой теории относительности, которая базировалась бы на группе Rn внутренних движений гиперсферы Sn-1. Между прочим, в группах Rn (п > 3) с их проективными координатами Xi (і = 1, ... ..., п) появляются п — 3 универсальных постоянных, необходимых для сложения (в соответствии с требованием однородности физической размерности) квадратов длин с квадратами новых координат (дополняющих первые три) [167, 202, 203].
Если задать как и в проективной теории относительности, п — 4 условия нормировки, то можно вернуть я-мерную теорию относительности к ее четырехмерной формулировке (в терминах пространственно-временных координат). Кроме того, в пределе R-+ оо каждая гиперсфера S"-1 сводится к плоскому пространству Еп~\ а ее я проективных координат переходят в п— 1 декартовых координат; следовательно, группа Rn [с п(п—1) /2 параметрами] распадается на произведение группы вращений Rn-1 и группы трансляций Tn-1 (имеющих соответственно (п—1) (п — 2)/2 и п—1 параметров), тогда как условиями нормировки становятся п — 5 независимых уравнений с п—1 неизвестными. Например, при п = 5 получаются проективные преобразования (проективная геометрия), при /7 = 6 — конформные преобразования (конформная геометрия), при п > >6 — преобразования типа Кремоны. Таким образом, мы приходим к применению алгебраической геометрии в физике,
