Астрофизика, кванты и теория относительности - Каррелли А.
Скачать (прямая ссылка):
Для физически разумного измерения имеем [6, 33]
AL ^ AX9 AL^cT9 (2)
где с — скорость света. Из (1) и (2) следует соотношение
AO^hc/QAL. (3)
Считая, что из классической теории поля для полной массы M пробного тела следует соотношение
E = Mc2^Cf(M)-', (4)
которое является условием самосогласованности для макроскопических тел, получаем из (3) неравенство
АФ(Д^>-|А. (5)
В электродинамике отношение QfM может быть выбрано произвольно малым. Поэтому электромагнитная полевая величина F может быть измерена с произвольной точностью с помощью подходящего пробного тела. Ho в теории гравитации справедлив принцип эквивалентности Эйнштейна, а именно соотношение Эйнштейна — Этвеша
Q=ZfM = f Efc2f (6)
из которого следует соотношение неопределенности для одновременного измерения координат и поля
АФ (AL)2 >hf/с. (7)
Согласно общей теории относительности Эйнштейна, принцип
эквивалентности выражает геометрическую природу гравита-
ционного потенциала, поскольку метрика gut определяется потенциалом Ф:
goo ~ 1 + (2Ф/С2). (8)
9. Физический смысл квантования гравитационных полей
477
В соответствии с этим неравенство (7) ведет к соотношению 18, 35]
(AL)2 > 26/^-3 = 2/*2, (9)
где I* — планковская элементарная длина.
Таким образом, для напряженностей поля, т. е. для символов Кристоффеля Г^, получаем
ДГ (AL)3 > А/с“3. (9а)
Вследствие этого соотношения неопределенности между измерением полевых функций и определением положения в данном измерении нелокализуемость гравитационного поля, следующая из отсутствия тензорного характера общерелятивист* ского гравитационного поля Г?/ (и его эйнштейновского комплекса энергии-импульса), по-видимому, менее проблематична для квантования гравитации. Действительно, из соотношений (9) и (9а) следует, что имеются ограничения на определение
локального гравитационного поля, что также ограничивает —
в смысле техники измерения — возможность определения локального гравитационного поля. Эти ограничения следуют из той же эквивалентности инерции и тяготения, которая, согласно общей теории относительности, имеет своим математическим следствием нелокализуемость гравитационного поля и его плот* ности энергии fo.
Согласно мысленному эксперименту Бора и Розенфельда, неопределенность ДФ (среднего) гравитационного потенциала Ф больше или равна неопределенности гравитационного потенциала пробного тела. В соответствии с принципом эквивалентности Эйнштейна эта неопределенность (1) пропорциональна неопределенности AM = AЕе-2 относительной массы M = Ec-2 этого тела, а неопределенность (2) тем больше, чем меньше линейные размеры тела: АФ ~ /M(AL)-1.
Теперь ясно, что для возможности определения (среднего) гравитационного потенциала Ф в элементе объема V должно выполняться условие (AL)3 ^ V. Квантовомеханическое соот-
ношение неопределенности Гейзенберга для координаты X и импульса р пробного тела ведет к соотношению
Ap AL > Ap AX > A, (IOa)
или для ультрарелятивистских частиц
AE AL ^ he. (106)
В результате для неопределенности массы пробного тела по-лучаем
АЩе^ЦеАІ. (11)
476
Х.-Ю. Тредер
(Этот ультрарелятивистский расчет соответствует оптимальному измерению; в нерелятивистском случае член в правой части предыдущего соотношения следует умножить на c/v (v < с)! Действительно, пробное тело должно сокращаться на множитель Лоренца Е/Е0 1, чтобы длина соответствующей волны
де Бройля была достаточно малой).
В результате неопределенность гравитационного потенциала удовлетворяет в объеме измерения ~(AL)3 соотношению
Дф ± >____М.— (12)
^ с2 AL ^ с(Му ’
так что неравенства (7) и (9) действительно справедливы. Кроме того, при проведении физически разумного измерения подлежащая измерению величина G должна быть больше, чем ошибка измерения AG:
G>AG.
Неопределенность AL измерения длины L содержит часть, возникающую из-за неопределенности Ag метрики g. Таким образом, согласно общей теории относительности Эйнштейна, неопределенность гравитационного потенциала непосредственно приводит к неопределенности ~ (AgL2)1/2 измерения положения. Разумеется, полная неопределенность (AL)2 измерения длины больше или равна неопределенности, обусловленной неопределенностью Ag одной лишь метрики. Поэтому мы в конце концов получаем соотношение
L2 > (AL)2 > AgL2 > Ag (AL)2, (13)
где AgL2 — неопределенность, обусловленная только Agx
AgL2 ~g~2 AgL2. (14)
Из (13) сразу следует
А*<1. (13)
Соотношения (16) и (9) совместно дают
(AL)2>2/*//c3~2/*2. (16)
Это означает, что наименьшая длина, об измерении которой имеет смысл говорить, равна планковской элементарной длине
''-(4(-)*-(-?-?)*• <17>
Эта длина стремится к нулю при /->0 или при а также
При соответственно. Соотношение (16) также является
общим результатом квантовой теории, специальной и общей теорий Относительности.
9. Физический смысл квантования гравитационных полей
479
В предположении, чю квантовые флуктуации гравитационного поля Ag не нарушают лоренцовскую сигнатуру пространства-времени, соотношение (17) может быть обосновано геометрически в смысле квантовой геометродинамики. При этом постулируется [41, 42]
