Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
<р[мР =-TJr (*«Ф>МАю (©«)• (21)
Из (16) следует, что среднее давление на поверхности плоского излучателя связано с давлением на поверхности равновеликого фокусирующего излучателя соотношением
Подставив (21) и (22) в (20), найдем, что
аф/а„ = 4/м. (23)
Из формулы (23) следует, что если при помощи плоского излучателя можно обнаруживать препятствия с радиусами а„, то при использовании в той же аппаратуре равновеликого фокусирующего излучателя можно обнаруживать препятствия, в КрМ раз меньшие. Иными словаїми, использование фокусирующих излучателей позволяет повысить чувствительность аппаратуры в Кр/М Раз: Для цилиндрического случая
в }//Срц)раз (Al=2), для сферического — в YKp* раз (М=3).
ГЛАВА 7
ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СХОДЯЩИХСЯ ВОЛНОВЫХ ФРОНТОВ
В настоящей главе мы исследуем распределение интенсивности, поток энергии через фокальную плоскость, поток импульса в окрестности фокуса, а также производительность сходящихся и плоских волновых фронтов и индекс производительности. Эти величины являются квадратичными по отношению к звуковому давлению и колебательной скорости, рассмотренным выше.
§ 7.1. Интенсивность и поток импульса
7.1.1. Интенсивность звукового поля / представляет усредненный за период поток энергии:
T
где T — период волны, т — время, Re р и Re v — действительные части звукового давления и колебательной скорости [1].
Рассмотрим распределение интенсивности по акустической оси сходящегося волнового фронта с малым углом раскрытия o)m< 1. Для этого воспользуемся интегралом (3 5.20), который представим в виде:
Pa = P0D'(к)©5*'1} h (- С - 2nvx) j t« (1 - tf h (vt) dt, (2)
где V — частота, ? = kz0 Поскольку мы предполагаем,
(D
і
§ 7.1]
ИНТЕНСИВНОСТЬ И ПОТОК ИМПУЛЬСА
213
что выполнены условия тождественности функций рас-пределейия (1.3.2), то для колебательной скорости будет справедливо выражение (2), если в нем заменить р на v. Учитывая это обстоятельство, с помощью (1) и (2) найдем выражение для распределения интенсивности по акустической оси сходящихся франтов:
^-/^»^) + /1(4 (3)
где Z0= (1/2)Po^o — интенсивность волны на расстоянии / от геометрического фокуса,
Разлагая подынтегральные выражения в (4) в степенные ряды и производя интегрирование, найдем
(5)
Рассмотрим однородные фронты, когда р,=0. Тогда в цилиндрическом случае и=—1/2 и (5) представляет ряды интегралов Френеля, а (3) принимает вид
W = Ifj [P(V) +S*(U)]VT-*. (6)
В сферическом случае х=0, формула (5) имеет вид /с= (sin v)/2v9 I9= (1— cos v)/2v и из (3) следует, чтр
/ic) = //sf (и/2). (7)
В формулах (6) и (7) If = KiI0 = KpI0 — интенсивность в геометрическом фокусе.
Для распределения интенсивности в фокальной плоскости однородного фронта (|л=0) из (3.5.37) и (1) получим
Ф = 1,AZh(W). (8)
2l4 ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 4>POHTOfc [ГЛ. 7
7.1.2. Мощность потока энергии через фокальную плоскость:
Q<*> = (Ытг2(*+1) f 4К) (ш) w2K+idw. (9)
о
Здесь до = &r0(om, шт = Лаот, а— расстояние от фокуса до края фокальной плоскости. Из (8) и (9) получим
Q(X) = QWK)W, Q0 = Z0S. (10)
В этом выражении Q0—мощность сходящегося волнового фронта с площадью 2,
#(ц) (»«) = 4 [Si (2шw) - S1 (wm) sin wm], (11) R{c)(wm)= 1-Л(шш)-Л(шт). (12)
Вычислим теперь мощность потока энергии Q$\ проходящего через окрестность фокуса. Для этого в (11) и (12) подставим соответственно размер окрестности OUP = Ji из (3.4.3) и wj? = 3,вЗ из (3.4.10) и, учитывая, что Si(2n)= 1,41, sinn = ^(3,83)=0, /0(3,83) = =0,40, из (10) найдем
<2(ФЦ) = 0,90Q&4), <2(ФС) = 0,84Q^C). (13)
Формулы (13) показывают, что через окрестность фокуса проходит не вся энергия сходящегося фронта, а только ее часть: 90%' в цилиндрическом и 84% в сферическом случае. Последнюю величину впервые вычислил Рэлей [8]. Остальные 10% и 16% энергии проходят через побочные максимумы.
При wm ^> 1 из выражений (10) — (12), учитывая асимптотику интегрального синуса и бесселевых функций, получим простые формулы:
(14)
Из (14) непосредственно видно, что при wm->°° мощность потока энергии Q(K)->Q&H), т. е. при увеличении размеров фокальной плоскости до бесконечности вся
§ 7.1]
ИНТЕНСИВНОСТЬ и ПОТОК ИМПУЛЬСА
215
энергия волнового фронта проходит через фокальную плоскость.
На рис. 7.1 показаны зависимости Q(K)/Q&K) = = #(х)(шт), построенные по формулам (10)-(12) для цилиндрического (х =—1/2, кривая 1) и сферического (х=0, кривая 2) фронтов. Графики имеют ступенчатую форму, отражающую дифракционную структуру поля в фокальной плоскости. Эта структура имеет вид
колец (при и=0) или полос (при X=—1/2). Вертикальные прерывистые линии проведены через границы колец и полос, совпадающие с нулями функции (8).
7,1.3. Поток импульса. Вычислением потока импульса звуковых волн занимались многие исследователи, в том числе Бриллюэн [58], Ландау и Лифшиц [1], Андреев [59] и др. Поток импульса в сферических волнах исследовали Бриллюэн [58], Мерсье [60], Гольд-берг [61]. Последний отметил особые ^трудности при вычислении импульса ультразвуковых волн.
Мы ограничимся случаями слабо сходящихся волно* вых фронтов в идеальных средах, когда в окрестности фокуса поток импульса можно представить усредненным
