Фокусирование звуковых и ультрозвуковых волн - Каневский И.Н.
Скачать (прямая ссылка):
U (w9 W0) Si (w f W0) — Si (W-W0)
Vn (W9 W0)
U(O1 W0)
2Si (W0)
(6)
Рассмотрим зависимость (6) от w при различных W0. При малых W0, используя разложение функции Si(w ±: W0) в ряд Тейлора, получим формулу
Vn(W, W0) & Si (W)9 котор^
совпадаете формулой рас- z,5\-f--Г—ТЛМ5
пределения давления в фокальной плоскости. При уве-
15
0,5
У/
у*/
0,15
0,05
Рис. 6 1.
О Z
Рис 6 2.
4
личении W0 зависимость (6) от w имеет более широкий главный максимум и меньший уровень побочного максимума. Обозначим через X1 значение W9 при котором Vn(Xi9 W0) = 0,707, и чэрез ^ — уровень побочного максимума функции (6). Зависимости f и #~ = = U(O9 Wo)IU(O9 O)Xx(Wo) от Wo показаны на рис. 6.2. Как видно из графиков, при увеличении размера прием-ivwa напряжение на нем возрастает, а разрешающая
198 СРЕДНЕЕ ДАВЛЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ HA ПРЕПЯТСТВИИ [ГЛ. б
способность фокусирующей системы с приемником, пропорциональная Xl1, падает. Величина имеет максимум, равный 0,58 при wopt ж 2,4. При оптимальном размере приемника разрешающая способность системы ухудшается на 20%, так как Xi(wovt)/Xx(O) & 1,2, а напряжение на приемнике составляет 0,91 от
максимально возможного. Уровень побочного максимума снижается при этом с 7(0) =0,217 до 7(2,35) = =0,103, т. е. в 2,1 раза.
6.1.2. Сферический фронт. Рассчитаем среднее давление па приемнике звука, находящемся в фокальной плоскости безаберрационно-Рис. 6.3. го сходящегося сферическо-
го волнового фронта. Предположим, что в фокусе сходящегося волнового фронта с малым углом раскрытия Qm помещен приемник звука, имеющий круглое сечение радиуса r0. На рис. 6.3, плоскость которого совпадает с фокальной плоскостью фронта, точка О — центр приемника,-находящегося на акустической оси. Точка F— центр фокального пятна, формируемого при падении плоской волны под углом а к акустической оси*). Расстояние OF = X связано с углом а простым соотношением: X = /а, где f — фокусное расстояние длиннофокусной безаберрационной системы. Расстояние г от центра фокального пятна до некоторой точки приемника Р, 'имеющей полярные координаты ґ и ср' с полюсом в точке О, равно г=[х2 + г'2 — 2xr' cos q/Ji/2.
Среднее давление на приемнике (р) определяется выражением
2л W9
<P> = -±l§d<t'jp(w')w'dw', (7)
*) Предполагается, что угол а мал (порядка ширины диаграммы направленности), так что фокальное пятно находится в фокальной плоскости и форма его такая же, как и при а=0, когда волна падает вдоль акустической оси.
§ b.lj ВЫЧИСЛЕНИЕ СРЕДНЕГО ЗВУКОВОГО ДАВЛЕНИЯ 199
где p(w')—распределение звукового давления в фокальной плоскости волнового фронта, w = krQm X = kxQm = kfamQm, wf = kr'Qm, W0 = Ar0Bm,
w = [X2 + w'l + 2Xw' cos <p'J1/2. (8)
Найдем теперь среднее давление в фокальной плоскости длиннофокусной безаберрационной системы, когда падающая волна направлена вдоль ее акустической оси, т. е. a = X = 0. Распределение поля описывается формулой (3.2.5); подставив ее в (7) и проведя вычисления, получим [53]
(P)IPm= (2M)2I[I-Z0(^0)]. (9)
Рассмотрим случай, когда выходное напряжение приемника, расположенного в фокусе X = O, связано со средним давлением соотношением U(O)=SC(P)9 где С — коэффициент пропорциональности, S — площадь приемника. Тогда с помощью формулы (9) получим
UДО) = (4дСр JWl) [ 1 - J0 (W0)]. (10)
Из (10) следует, что U(O) максимально при W0 =3,83, r0 = 3,88/^8™, т. е. когда радиус приемника равен радиусу фокального пятна, причем
ит^Ъ%ШСртт1. (И)
Из (10) следует, что при W0—>oo величина ?/(0)-> -*4nCPmlk2Bm\ это соответствует значению U(O)/итйХ = = 0,713.
Рассчитаем теперь среднее давление на приемнике звука, когда волна падает под углом а к акустической оси приемника и центр фокального пятна смещается относительно центра приемника на расстояние х. Будем рассматривать длиннофокусный безаберрационный волновой фронт с очень малым углом раскрытия, когда можно считать, что распределение давления описывается формулой (3.2.5). К этой формуле применим теорему сложения функций Бесселя в форме Гегенбауэра, в которой R заменим величиной w из (8) и положим / = X = Ж)та, Го = w\ 8 = q>'. Полученное таким образом выражение подставим в (1) и, проинтегрировав
200 СРЕДНЕЕ ДАВЛЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ HA ПРЕПЯТСТВИИ [VJl. Ь
ряд почленно, получим выражение для среднего давления:
^ = [I-J0 (W0)I G (w0, X), (12)
C(w0, X) "^1(X) -I- Il -/e(t»)]-» X
OO
C8(W0)-22 /2(3+ft+i)k). (H)
При X=O, когда центры приемника и фокального пятна совмещены, формулы (12) и (9) совпадают. Используя (12), найдем выходное напряжение на приемнике:
U(W09 X)IU(W0, 0) = G(W09 X)9 (15)
где U (0) — напряжение на приемнике при X=O, определяемое формулой (10). Учитывая, что X = kFQma9 приходим к выводу, что-формула (13) представляет выражение для диаграммы направленности. Для значений ш0 ^ 4 и Xs^lO первые два члена разложения (13) обеспечивают погрешность не более 5%, тогда из (13) получим
С (W09 X) = A1 (X) + 0,5C1 (W0) [ 1 - J0 (W0) ] -1 X
Х(Х/2)2Л3(Х), (16)
OO
причем из (14) следует, ЧТО С1(Шо)=22^2А+і(а;о)-
