Специальные функции математической физики - Кафтанова Ю.В.
ISBN 978-966-2046-62-5
Скачать (прямая ссылка):
Чем меньше угол ф и больше длина источника Ь, тем дальше будет находиться центр гипотетического цунами от некоторого точечного источника О.
Поэтому распространение волн цунами на некотором удалении как от точечного, так и от линейного источника можно изучать одинаково — длина источника не влияет на математическую и физическую модель поведения волн цунами при их движении в океане. Это же относится и к приповерхностным ударным волнам землетрясения.
В реальной практике наблюдения за цунами и полученные фактические данные носят дискретный характер. Исследователям обычно известны показатели скорости движения ударной волны цунами и высота волн на некоторых временных отрезках в табличной форме. Поэтому автор будет строить дискретную оценочную модель.
Обозначим Ф(г) длину линии фронта ударной волны, в начальный момент совпадающей с длиной Ь источника:
Ф(0)— Ь, которая при условии свободного и беспрепятственного распространения будет увеличиваться, повторяя профиль источника по закону подобия.
Для удобства будем рассматривать очень малые значения угла ф и близкие к линейным или точечные источники цунами Ь, поэтому профиль Ф(t) можно оценивать как очень близкий к линейному отрезку прямой.
Рассмотрим, как влияют препятствия на пути распространения ударных волн цунами на их энергию и изменение конфигурации фронта ударной волны.
Будем использовать тот факт, что волны цунами не подчиняются классическим волновым законам, поскольку вторая волна цунами несет в себе приповерхностную ударную волну, ведущую себя как аномальный объект — как твердая, тонкая и упругая энергетическая мембрана. В выбранной нами системе координат она неподвижная.
Будем рассматривать поведение волн цунами в дискретной системе модели времени — в конечном наборе временных интервалов и временных точек:
г о _ _ _ 1к _ _ _ — временные точки наблюдений.
причем г о — 0 и интервалы А 1\ — гк —
Введем в рассмотрение функцию ©(г), которая будет описывать потери внутренней энергии системы волн цунами, связанные с рассеиванием энергии в океане при движении и трении (в том числе об дно, при встрече с объектами).
Потери энергии первой обычной и второй ударной волны обозначают функции ©у(г) и ©и(г), причем
в(0) = еж(о) = еи(о) = о ®(ік) = ем + ем
начальный момент
сложение потерь.
Энергия системы волн в момент времени с учетом ненулевой функции потерь может быть записана в форме:
ЯМ — {Яу + яи) — &м)
Оту^к) — Я ту — °и?(1к) — первая волна йи(^к) — йи — ®и(1к) — вторая волна.
Мы рассматриваем систему с ненулевой энтропией, которая является исключительно возрастающей функцией.
Поэтому функции потерь энергии являются монотонно возрастающими, ограниченными, непрерывными или разрывными функциями, где каждый разрыв имеет форму конечного скачка, описывающего каждую встречу цунами с каждым существенным препятствием.
Соответственно, в каждый момент времени на некотором участке фронта волны длиной А Ф(гк) будет сконцентрирована внутренняя энергия системы А (й^к):
Ай(1г) — А Ф(1г) {йу (1к) + Яи (1г)) /Ф(Хк)
А Яу(*к) — А Ф(гк) Яу (гк) /Ф^к) — первая волна
А ЯМ — А Ф(г0 Яи (гк) /Ф(гк) — вторая волна.
85
84
Кинетическая энергия движения каждой волны также будет расходоваться на трение и постепенно рассеиваться. Введем функции Хцг(1) и Хи(Х), соответственно обозначающие потери кинетической энергии первой обычной и второй ударной волны.
Еж(0) = Еи(0) = О
начальный момент
Кинетическая энергия в каждый момент времени соответственно будет составлять:
Еи(ік) = Еи — Еи(ік)
первая волна
вторая волна.
Отметим, что кинетическая энергия этих двух волн не может складываться, поскольку волны описываются разыми законами и представляют собой различные объекты. Каждая волна в течение длительного временного интервала может двигаться сама по себе со своей скоростью, как это было описано ранее. Более того, до момента встречи с берегом или момента полного гашения внутренней энергии вторая ударная волна может даже не догнать первую.
Поскольку процесс идет с непрекращающимися потерями кинетической энергии, скорость каждой волны будет постепенно уменьшаться.
В открытом океане такие процессы идут очень медленно, а при повышении рельефа дна резко ускоряются, и скорость волн начинает тормозиться быстрее.
Так как изначально в модели цунами внутренняя и кинетическая энергия оказались отделенными друг от друга и были направлены на различные не влияющие друг на друга с точки зрения физики процессы, кинетическая энергия движения волны не оказывает существенного влияния на ее внутреннюю энергию, и наоборот.
Вертикальная векторная составляющая всей энергии источника перешла во внутреннюю энергию, а горизонтальная составляющая — в кинетическую, обеспечивая движение волн цунами по океану и перенос внутренней энергии каждой из них на огромные расстояния.
Так как вектора сил были перпендикулярны друг другу, они имеют нулевое скалярное произведение и в
момент разделения энергий во время второго фазового перехода перестают оказывать существенное влияние друг на друга (этим влиянием можно пренебречь).
