Специальные функции математической физики - Кафтанова Ю.В.
ISBN 978-966-2046-62-5
Скачать (прямая ссылка):
Начнем с моделирования начального поведения системы волн цунами при различных очагах и эпицентрах. Ранее мы рассматривали идеальный случай, в котором эпицентр землетрясения располагается на ровном и гладком дне океана, а в самой окрестности ничто не препятствовало круговому формированию ударной волны у поверхности.
Потенциальные источники цунами могут размещаться как в толще океанической воды (техногенные причины), так и в наклонных впадинах, сформированных в результате поддвижки одной литосферной плиты под другую (часто встречающиеся геологические условия).
В результате движений литосферных плит под действием энергии вращения Земли и движения тепловых конвекционных потоков в верхних слоях магмы одни плиты уходят под другие, погружаются в магму и постепенно плавятся. На их границе образуется длинная и узкая впадина, и такая граница называется деструктивной.
Впадины на дне океанов носят название желобов (например, самый глубокий Марианский желоб и др.). Это сейсмически очень активные участки земной коры, внутри которых могут производиться регулярные выбросы мощнейшей сейсмической энергии. 77
Не очень глубоко в желобах формируются очаги, которые благодаря особенностям рельефа дают относительно узко направленное изучение энергии в океан — в клиновидном секторе, закрашенном на схеме в темные тона.
Около 70%-80% выброшенной в океан энергии оказывается сконцентрировано в узком секторе.
На схеме видно, что ударная волна с момента ее формирования может свободно двигаться в открытый океан, не разрываясь на части и локально не разрушаясь. На материк удар такого цунами направлен не будет. Благодаря структуре придонного рельефа цунами не носит поверхностный круговой характер расходящихся волн, а будет двигаться постепенно расширяющейся полосой.
Если желоб и дно имеют скачкообразную структуру, тогда от протяженного вдоль желоба источника может сформироваться несколько ударных волн, разделенных разрывами, после чего каждая ударная волна будет распространяться независимо от других.
Предположим, что сформированная вдоль желоба одна протяженная волна имеет длину фронта Ь.
Обозначим () часть энергии, которая была выброшена в закрашенный сектор от всей энергии очага Е. Процент выброшенной в сектор энергии составит () / Е х 100%.
Общий размер угла всего сектора, в котором сформируется цунами, составляет а радиан. На формирование ударной волны в указанном секторе израсходуется энергия во вложенном — меньшем секторе, составляющем Р радиан.
Угол наклона продуктивного (с точки зрения формирования цунами) сектора к оси Ох составляет у радиан.
Для пересчета X градусов в у радиан используйте простое линейное отношение:
у радиан = 2 ТС X градусов / 360
78
Энергию U, которая будет израсходована на создание приповерхностной ударной волны цунами и прилегающего к ней снизу сектора, можно оценить выражением:
U = b Q / a — энергия сектора ударной волны.
Энергия W первой классической волны составит:
W = Q — U = (a — р) Q / a
Энергия от источника распространяется круговыми равномерными волнами. Круговой сектор, формируемый ударной волной, для удобства вычислений можно принять за треугольник. Поскольку суммарная энергия может быть разложена по двум осям координат как векторная величина, оценим ее горизонтальную составляющую Ux как усредненную величину:
Ux = U cos (g + a — р/2)
Ux = Q cos (g + a — b/2) b /a
Можно предположить, что, в соответствии с логикой модели, горизонтальная составляющая внутренней энергии этого сектора во время второго фазового перехода перейдет в кинетическую энергию и сформирует начальную скорость Vx движения ударной волны вдоль поверхности.
Ux = m Vx2/ 2= LSceKmopa Vx2/ 2
где аналогом массы выступает объем сектора, выраженный через площадь SceKm0pa и длину фронта ударной волны L, которая сформировалась вдоль очага длинной L в протяженном желобе (плотность воды принимаем за 1).
Поэтому Ux = Lb R2 Vx2/ 4
Ux = U cos (g + a —b/2)
Lb R2 Vx2/ 4
2 / T T cos (g + a — р/2) Отсюда Vx = —r У U--
79
2 / „ cos (g + a — B/2) Или vx = — \\Q-—T-^
Очевидно, что вертикальная составляющая внутренней энергии перейдет во внутреннюю энергию ударной волны Qv с прилегающей окрестностью, а также в остаточную энергию возмущений внутри рассматриваемого клина.
Qv = Uy = U — Ux = U (l — cos (g + a — b/2))
Отношение израсходованной на придание начальной скорости фронту ударной волны энергии, и энергии, переданной сектору ударной волны, составит
Ux / U
cos
(g + a —
Отношение энергии, которая была затрачена на придание начальной скорости фронту ударной волны к общей энергии, переданной от источника всему рассматриваемому сектору цунами, составит
Ux / Q = b cos (g + a — b/2) / a
Можно предположить, что сектор, отвечающий за формирование первой (не ударной) волны цунами во время второго фазового перехода перераспределит энергию аналогично. Горизонтальная составляющая вектора энергии этого сектора составит
Wx = W cos (g — b + a/2)
Wx = Q cos (g — b + a/2) (a — b) / a
Кинетическая энергия позволяет отыскать горизонтальную скорость Wx движения фронта первой волны:
