Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
,..., z, вместо и,-: UXVX + U2V2 +U3V3,UXU2V3 + U2U3VX +"3Mi v2,
uxv2v3 +u2v3vx +u3vxv2,ux(v2 -v3) + u2(v3 -vx) + u3(vx -y2), uxu2(ux ~v2)
+ u2u3(v2-v3) + u3ux(v3 - Ut),
UjU2(M! -U2) + U2U3(m2 - U3)+V3Vx(u3-Ux),
выражений, получающихся отсюда подстановкой вместо и,и,- всевозможных
комбинаций двух различных символов, выбранных из (и,-, и,-, wx,, z,):
UXVXWX +U2V2W2 +I/3U3W3, uxvx(w2 - W3) + U2V2(w3 - wt) + п3и3(и>1 - и>2)
и выражений, получающихся отсюда подстановкой вместо и,-, у,-, w,-
всевозможных комбинаций трех различных символов, выбранных из (и/,
У/, И',-, ..., Z/).
(12.19)
Р'(Upi Л JP}, UP }) = P'({Sp(1>}, lsP(2)}, {JP}) = =P'(UP) , {Jp}, UP)).
(12.20)
Обозначим в (12.20)
Pi =ul,p2 =l>i, . . . ,Jff =zx,
JP = u2,jP=v2, ... ,JP =z2', P{2) =U3, JP =y3,... ,jp = z3.
(12.21)
Возвращаясь к обозначениям (12.21), можно записать ЦРБИ для группы/
(12.15).
На основании рассмотренных примеров становится ясной процедура построения
ЦРБИ из величин с\, преобразующихся по НП Dv группы симметрии исходной
фазы. Она сводится к следующим действиям:
1. Из таблицы представлений пространственных групп выписываем матрицы
представления Dv
2. Из элементов группы G отбираем те, матрицы которых-в представлении Dv
совпадают с единичной. Получаем таким образом ядро гомоморфизма Я.
3. Строим фактор-группу G# = С/Я. На практике мы должны просто из всех
матриц представления If выбрать все различные матрицы, обозначив их через
If (а). Перемножая затем матрицы Я", составляем квадрат Кэли (таблицу
умножения), на основании которого определяем абстрактную группу / ,
изоморфную фактор-группе GH.
4. Полученную группу/ разлагаем в нормальный ряд (12.2).
5. Начиная с последнего члена ряда, выражаем инварианты для старшего
члена ряда через младшие, пока не дойдем до интересующей нас группы 1.
Разрешимость группы и минимальный ЦРБИ. Описанный метод построения ЦРБИ
пригоден для так называемых разрешимых групп. Группа G называется
разрешимой, если она представима в виде нормального ряда и его можно
выбрать так, чтобы все фактор-группы в этом ряду были изоморфны абелевым
группам. Последнее обстоятельство, однако, при построении ЦРБИ в явном
виде не используется.
Покажем, что все /-группы, отвечающие НП симметричных точек зон Бриллюэна
всех пространственных групп, разрешимы. Любая группа I задается набором
различных матриц элементов нулевого блока и матриц трансляций исходной
пространственной группы. Максимальное число элементов в группе / равно 48
• 32 = 1536, где 32 - максимальное число различных трансляций, отвечающее
максимально возможному увеличению объема примитивной ячейки при фазовом
переходе. Такое происхождение /-групп приводит к тому, что их порядок
всегда может быть представлен в виде 2" З*3, где а и 0 - целые числа.
В теории групп доказана следующая теорема.
Теорема 3 (Бернсайда [8]). Группа G порядка N(G) разрешима, если N(G) =
pa(f, где p,q - простые числа, а, (3 - целые неотрицательные числа.
Из теоремы Бернсайда и сказанного выше непосредственно следует
разрешимость /-групп.
Теперь обсудим вопрос о минимальности ЦРБИ. Минимальным ЦРБИ (МЦРБИ)
называется такая совокупность полиномиальных инвариантов, что никакой из
ее членов не может быть выражен в виде полинома от остальных членов7
данной совокупности. На каждом этапе построения ЦРБИ в общем случае
получается несколько инвариантов данной степени, причем некоторые из этих
инвариантов могут быть представлены в виде полиномов от инвариантов
низших степеней. Эти инварианты следует отбросить, как не входящие в
МЦРБИ. Такой отбор следует делать на каждом этапе построения ЦРБИ для
данной /-группы.
89
При выявлении независимых инвариантов данной степени для контроля полезно
подсчитать число независимых инвариантов. Общее число инвариантов Np
степени р равно числу вхождений единичного представления в р-ю степень
рассматриваемого НП. Для нахождения Np, очевидно, можно пользоваться
формулой
где G - группа симметрии исходной фазы, x(g) - характер исследуемого НП.
Из общего числа инвариантов данной степени Np следует вычесть те, которые
могут быть представлены в виде полиномов от инвариантов более низкой
степени. Число таких инвариантов 1V'P определяется простым перебором.
Наконец, из оставшихся инвариантов следует исключить те, которые могут
быть связаны с инвариантами низших степеней не полиномиальным образом,
т.е. так называемыми сизигиями [1]. Например, если инвариант / степени р
не может быть выражен в виде полинома от инвариантов низших степеней, а
квадрат этого инварианта /(2^ представим, то данный инвариант не является
независимым, а его связь с другими инвариантами называется сизигией.
Число сизигий будем обозначать Np . В результате число независимых
инвариантов, образующих МЦРБИ для данной /-группы,
Наконец, при поиске МЦРБИ можно сразу же отбрасывать инварианты, степень
которых выше порядка данной /-группы, поскольку имеет место теорема 4.
Теорема 4 (Э. Нётер). Степень элементов ЦРБИ для полиномов, инвариантных
