Фазовые переходы симметрия кристаллов - Изюмов Ю.А.
Скачать (прямая ссылка):
базисных функций ответственного НП, определяющие специализированный набор
величин r?i, г?2, т?/ - компонент параметра порядка.
Для перечисления всех диссимметричных фаз достаточно перечислить в^е
различные такие наборы (различные типы коэффициентов смешивания).
Например, в случае трехкомпонентного { гьтьЧз) параметра порядка возможны
следующие типы смешивания: (г? 0 0), (i?r?0), (г?7777), (r?i 77 77) итд.
Очевидно, что каждый специализированный набор в общем случае можно
трактовать как выделенное по симметрии направление /"-компонентного
вектора г? = (т^ть. -. V1 ) в /"-мерном пространстве параметра порядка.
Эти векторы преобразуются друг в друга под действием различных матриц v-
то НП, т.е. под действием элементов /-группы. Каждое специальное
(симметричное) направление вектора р остается инвариантным под действием
некоторой подгруппы /-группы. Таким образом, становится ясно, что
перечисление разных по симметрии фаз, возникающих в фазовом переходе по
данному НП, сводится к перечислению всех подгрупп /-группы.
Таким образом, определив соответствующую/-группу, мы можем свести всю
дальнейшую задачу об исследовании фазового перехода (построение
термодинамического потенциала и определение возможных фаз) к работе с
этой абстрактной группой. Преимущество такого подхода проявляется, как мы
увидим ниже, в общем анализе возможных типов термодинамического
потенциала. В настоящем параграфе, как и раньше, мы будем обсуждать
только те НП, которые нумеруются лифшицевскими звездами. Такое
ограничение приводит к тому, что рассматриваемые представления содержат
конечное число различных матриц. Максимальное число различных матриц в НП
может быть равно 48 X 32 = 1536, где 48 - максимальное число элементов в
нулевом блоке пространственной группы, а 32 - максимальное увеличение
примитивной ячейки при фазовых переходах по лиф-шицевским звездам. В
принципе, имея таблицы НП всех пространственных групп, можно было бы
каждому представлению с лифшицевской звездой указать свою /-группу.
Однако такой работы еще не было проделано, поэтому мы приведем ряд
соображений, показывающих, какие /-группы могут появиться в теории
фазовых переходов в кристаллах.
Во-первых, /-группы изоморфны точечным группам симметрии в /"-мерном
пространстве [11]. Однако среди многих абстрактных групп этого типа в
теории представлений пространственных групп встречаются только те,
которые содержат повороты лишь на углы, равные 2ir/n, где п = 2,3, 4, 6,
8, 12. Повороты с п = 8, 12 возникают из матриц НП п рост ранет je нны х
групп для лифшицевских звезд за счет ''пропавших" трансляций.
Другой важный признак /-групп заключается в том, что они должны иметь
среди НП данной размерности /" векторное представление. Это очевидным
образом вытекает из определения /-групп как образа НП.
Ниже будет дана более детальная информация об /-группах двумерных,
трехмерных и т.д. НП.
Двухкомпонентный и трехкомпонентный параметры порядка. Рассмотрим
двумерное пространство параметра порядка. Из всевозможных дву-
95
мерных точечных групп мы должны в качестве /-групп отобрать такие, у
которых двумерное векторное представление неприводимо. Этому условию
удовлетворяют группы С" и СЯи с и = 3, 4, 6, 8, 12. Отсюда сразу можно
сделать вывод, что любой из возможных фазовых переходов с
двухкомпонентным параметром Порядка описывается одним из десяти
термодинамических потенциалов. Для нахождения явного вида этих
потенциалов необходимо построить ЦРБИ для десяти групп С" и Cnv.
ЦРБИ для групп С3 и С3и были получены в § 13. Для группы С3 ЦРБИ состоит
из трех инвариантов:
h =i)i +i?2. h =т?! -Зт},т}1, /3 =г)1 (14.1)
а для группы С3и -из двух:
Л +T72, =17? (14.2)
Нетрудно построить ЦРБИ для групп С4 и С4и . Группа C4v может быть
разложена в смежные классы по подгруппе С4: С4и= C4+g гС4, где g t
-
отражение в плоскости, параллельной оси четвертого порядка. Груша С4
может быть также представлена в виде С2 +g 2С2, где g 2 - поворот на 90°
вокруг оси четвертого порядка. Группа С2 состоит из двух элементов С2 ~
ig э > ? 4} > где g э - единичный элемент, a g4 ~ g\. Непосредственной
проверкой легко убедиться, что такое разложение группы C4v есть разло-
жеше в нормальный ряд. Поэтому в соответствии с рекомендациями § 12
построение ЦРБИ начнем с группы Сг. Рассматривая и т?2 как компоненты
двумерного вектора, по теореме 1 § 12 находим: /[ = rrf, /2 = r?f, /3 = =
ViWi ¦ Учитывая действие элемента g2 на полученные инварианты /1,2, з>
находим ЦРБИ для гру ты С4:
Ji =V2i +vl, h =1?) +T?1 J3 =V*V2 -ViVl. .(14.3)
Наконец, для группы C4v находим
J\ =n\ +vl. J2 =т]\ +т?2 - 6т??т?|. (14.4)
Аналогично находятся ЦРБИ для остальных групп С" и Спю. Переходя к
тригонометрической форме записи, r?j = rjcosip и i?2 = V siny?, ЦРБИ для
групп Сп и Cnv можно записать соответственно в виде [12]
J! =ri2, J2 =t?"cosпу, /3 =r?"sinпф\ (14.5)
J\ ='?1, /2 =T?"cosni/?. (14.6)
Перейдем к трехкомпонентному параметру порядка. Из всевозможных точечных
